Плоская волна отличается тем свойством, что направление ее распространения и ее амплитуда одинаковы во всем простран- стве. Произвольные звуковые волны этим свойством, конечно, не 364 звук гл. viii обладают. Однако возможны случаи, когда звуковую волну, не являющуюся плоской, в каждом небольшом участке простран- ства можно рассматривать как плоскую. Для этого необходимо, чтобы амплитуда и направление волны почти не менялись на протяжении расстояний порядка длины волны. Если выполнено это условие, то можно ввести понятие о лу- чах как о линиях, касательные к которым в каждой точке совпа- дают с направлением распространения волны, и можно говорить о распространении звука вдоль лучей, отвлекаясь при этом от его волновой природы. Изучение законов распространения звука в таких случаях составляет предмет геометрической акустики. Можно сказать, что геометрическая акустика соответствует пре- дельному случаю малых длин воли, А —>> 0. Выведем основное уравнение геометрической акустики — уравнение, определяющее направление лучей. Напишем потен- циал скорости волны в виде ср = ае^. F7.1) В случае, когда волна не плоская, но геометрическая акустика применима, амплитуда а является медленно меняющейся функ- цией координат и времени, а фаза волны ф есть «почти линей- ная» функция (напомним, что в плоской волне ф = kr — uot + a с постоянными киш). В малых участках пространства и малых интервалах времени фазу ф можно разложить в ряд; с точностью до членов первого порядка имеем ф = фо + r grad ф + — t. dt Соответственно тому, что в каждом небольшом участке про- странства (и в небольших интервалах времени) волну можно рас- сматривать как плоскую, определяем волновой вектор и частоту волны в каждой точке как k=^=grad^ w = -^t F7.2) Величина ф называется эйконалом. В звуковой волне имеем со2/с2 = к2 = к% + ку + к%. Подставляя сюда F7.2), получим следующее основное уравнение геометриче- ской акустики: у+у+уу=0. F7.3) дх J \ ду / \dz J с2 \ dt J Если жидкость неоднородна, то коэффициент с2 является функ- цией координат. Как известно из механики, движение материальных частиц может быть определено с помощью уравнения Гамильтона-Якоби, § 67 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 365 являющегося, как и уравнение F7.3), уравнением в частных про- изводных первого порядка. Аналогичной ф величиной является при этом действие S частицы, а производные от действия опре- деляют импульс р и функцию Гамильтона Н (энергию) части- цы согласно формулам р = dS/dr, Н = —dS/dt, аналогично формулам F7.2). Известно, далее, что уравнение Гамильтона- Якоби эквивалентно уравнениям Гамильтона, имеющим вид р = = —дН/дг, v = r = дН/др. Вследствие указанной аналогии меж- ду механикой материальной частицы и геометрической акусти- кой мы можем непосредственно написать аналогичные уравне- ния для лучей: kC/UJ • C/U / /-»t-y л\ = - —, г = —. F7.4) В однородной изотропной среде ио = ск с постоянным с, так что к = 0, г = сп (п — единичный вектор в направлении к), т. е. как и должно было быть, лучи распространяются по прямым линиям, сохраняя при этом постоянную частоту ио. Частота остается, разумеется, постоянной вдоль лучей вооб- ще всегда, когда распространение звука происходит в стационар- ных условиях, т. е. свойства среды в каждой точке пространства не меняются со временем. Действительно, полная производная от частоты по времени, определяющая ее изменение вдоль рас- пространяющегося луча, равна du ди ди . ®иъ- dt dt dr <9k При подстановке F7.4) два последних члена взаимно сокраща- ются; в стационарном же случае duo/dt = 0, а потому и duo/dt = 0. При стационарном распространении звука в неподвижной не- однородной среде ио = с/с, где с есть заданная функция коорди- нат. Уравнения F7.4) дают г = en, k = -We. F7.5) Абсолютная величина вектора к меняется вдоль луча просто по закону к = ио/с (с ио = const). Для определения же изменения направления п полагаем во втором из уравнений F7.5) к = — п и пишем: —п — —n(Vcr) = —A;Vc, с с2 откуда Вводя элемент проходимой лучом длины dl = ссЙ, перепишем это уравнение в виде F7.6) 366 ЗВУК ГЛ. VIII Этим уравнением определяется форма лучей; п есть единичный вектор касательной к лучу . Если уравнение F7.3) решено и эйконал ф как функция ко- ординат и времени известен, то можно найти также и распре- деление интенсивности звука в пространстве. В стационарных условиях оно определяется уравнением div q = 0 (q — плотность потока звуковой энергии), которое должно выполняться во всем пространстве вне источника звука. Написав q = сЕп, где Е— плотность звуковой энергии (см. F5.6)), и имея в виду, что п есть единичный вектор в направлении k = V^, получим следую- щее уравнение: ЧИ- F7-7) которое и определяет распределение Е в пространстве. Вторая из формул F7.4) определяет скорость распростране- ния волн по известной зависимости частоты от компонент волно- вого вектора. Это — важная формула, относящаяся не только к звуковым, но и ко всяким волнам вообще (мы уже пользовались, например, этой формулой в § 12 в применении к гравитацион- ным волнам). Приведем здесь еще один вывод этой формулы, полезный для уяснения смысла определяемой ею скорости. Рас- смотрим волну (или, как говорят, волновой пакет), занимающую некоторую конечную область пространства. Предположим, что волна такова, что в ее спектральное разложение входят моно- хроматические компоненты с частотами, лежащими в некотором малом интервале; то же самое относится и к компонентам их вол- новых векторов. Пусть ио есть некоторая средняя частота волны и к —средний волновой вектор. Тогда в некоторый начальный момент времени волна описывается функцией вида <p = elkrf®. F7.8) Функция /(г) заметно отлична от нуля только в некоторой ма- лой (но большой по сравнению с длиной волны 1/к) области про- странства. Ее разложение в интеграл Фурье содержит согласно сделанным предположениям компоненты вида еггЛк, где Ак — малые величины. *)Как известно из дифференциальной геометрии, производная dn/dl вдоль луча равна N/Я, где N — единичный вектор главной нормали, а Я — радиус кривизны луча. Выражение же в правой части уравнения F7.6) есть, с точностью до множителя 1/с, производная от скорости звука по направ- лению главной нормали; поэтому можно написать это уравнение в виде I = _I(NVc). R с Луч изгибается в сторону уменьшения скорости звука. § 67 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 367 Таким образом, каждая из монохроматических компонент волны пропорциональна в начальный момент времени множи- телю вида Vk = const ¦ ег^+ак)г. F7.9) Соответствующая ей частота есть со (к + Ак) (напоминаем, что частота является функцией волнового вектора). Поэтому в мо- мент времени t та же компонента будет иметь вид if\r_ = const • exp [i(k + Ak)r — ico(k + Ak)t]. Воспользовавшись малостью Ak, напишем со(к + Ak) « cjfk) + —Ак. <9к Тогда (fk принимает вид <рк = const • ei(kr"^ expfiAkfr - —t\]. F7.10) Если теперь произвести обратное суммирование всех моно- хроматических компонент волны со всеми имеющимися в ней Ак, то, как видно из сравнения F7.9) и F7.10), мы получим F7.11) где / — та же функция, что и в F7.8). Сравнение с F7.8) пока- зывает, что за время t вся картина распределения амплитуды в волне передвинулась в пространстве на расстояние —t (экспо- ненциальный множитель перед / в F7.11) влияет только на фазу волны). Следовательно, скорость ее равна U = —. F7.12) Эта формула и определяет скорость распространения волны с произвольной зависимостью о; от к. В случае со = ск с по- стоянным с она приводит, конечно, к обычному результату U = = со/к = с. В общем же случае произвольной зависимости со(к) скорость распространения волны является функцией ее частоты и ее направление может не совпадать с направлением волнового вектора. Скорость F7.12) называют также групповой скоростью вол- ны, а отношение со/к — фазовой скоростью. Подчеркнем, однако, что фазовая скорость не соответствует реальному физическому распространению чего бы то ни было. По поводу изложенного вывода отметим, что выражаемое формулой F7.11) передвижение волнового пакета без изменения 368 звук гл. viii его формы является приближенным и связано с предположен- ной малостью интервала Ак. Вообще же говоря, при зависящей от ио скорости U волновой пакет по мере своего распростране- ния «размазывается» — занимаемая им в пространстве область расширяется. Можно показать, что это размазывание пропорци- онально квадрату величины интервала Ак волновых векторов, входящих в разложение волнового пакета.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Геометрическая акустика» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 