Асимптотическое поведение фотонного пропагатора при больших импульсах
В § 113 был вычислен первый (по а) член разложения поляри- зационного оператора V(k2) и было найдено, что при \к2\ ^> т2 с логарифмической точностью он имеет вид <p(k2) = ^к2Ы^. A32.1) Зтг т2 Там же было указано, что по смыслу вывода этой формулы (как поправки первого приближения к пропагатору 4ttD~1 = к2) предполагается выполненным условие ^llnM^i, A32.2) Зтг т2 чем ограничивается применимость формулы со стороны боль- ших \к2\. Покажем теперь, что в действительности выражение A32.1) остается справедливым и при гораздо более слабом усло- вии fln^<l. A32.3) Зтг т2 Ход доказательства состоит в следующем . Прежде всего, замечаем, что хотя при условии A32.3) вклад в V(k2) может воз- никать, в принципе, от членов всех порядков (по а) ряда теории возмущений, но в каждом (n-м) порядке надо учитывать только члены ~ ап lnn(|A;2|/m2), содержащие большой логарифм в той же степени, что и а] члены с более низкими степенями логариф- ма заведомо малы в силу неравенства а< 1. Далее, исследование ряда теории возмущений для V можно свести к исследованию рядов для Q и Г^ с помощью уравнения Дайсона =i^Sp J' V(k2) =i^Sp JЪд(р + к)Т»(р + к, р; к)О(р)-0-л A32.4) 1) Излагаемая постановка вопроса и результаты принадлежат Л. Д. Лан- дау, А. А. Абрикосову и И. М. Халатникову A954). 662 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII (см. A07.4)). Поскольку функция V(k2) калибровочно-инвари- антна, при ее вычислении можно выбрать любую калибровку для величин Q и Г. Наиболее удобна для этой цели калибров- ка Ландау, в которой пропагатор свободных фотонов имеет вид G6.11): § ( Ц) A32.5) A)@ = 0 в A03.17)). Оказывается, что в такой калибровке ряды теории возмущений для Q и Г^ вообще не содержат членов с нужными степенями логарифмов. Поэтому в A32.4) достаточно подставить для Q и Г^ их нулевые приближения: G = G, Г^ = ^. Тогда выражение A32.4) сводится к интегралу V(k2) =i^Sp J ЪО(р + к)^О(р)ф^. A32.6) Это — интеграл Фейнмана, отвечающий диаграмме A13.1) пер- вого (по а) приближения, который и приводит (после соответ- ствующей перенормировки) к формуле A32.1). Приступая к доказательству сделанных утверждений, про- следим прежде всего за происхождением логарифма в интеграле A32.6). Легко видеть, что логарифмический член возникает от области интегрирования р2 > \к2\ при \к2\ > т2. A32.7) Действительно, формально разлагая G по степеням 1/G]э), име- ем G(p) « -i- = 2f, 7Р V G(p - к) « —-— « — + — 7^— + —7&—7&— = jp-jk 7Р 7Р 7Р 7Р 7Р 7Р _ 7Р . GР)G^)GР) , 2 BJ р2 (р2J (р2K При подстановке в A32.6) первый член, не зависящий от /с, вы- падает в результате регуляризации (в соответствии с условием V/k2 —)> 0 при к2 —)> 0). Второй член обращается в нуль при интегрировании по направлениям р. Третий же интеграл лога- рифмически расходится по р2] взяв его в пределах от р2 ~ \к2\ (ниж:ний предел области A32.7)) до некоторого вспомогательно- го «параметра обрезания» Л2, получим -^к2Ы—. A32.8) Для регуляризации следует вычесть из V/k2 его значение при к2 = 0. Но поскольку логарифмическая точность предполагает § 132 ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР ПРИ БОЛЬШИХ ИМПУЛЬСАХ 663 условие \к2\ ^> т2, при вычислении с этой точностью регуля- ризация осуществляется вычитанием значения при |/с2| ~ т2, в результате чего Л2 в аргументе логарифма заменяется на т2 и мы приходим к A32.1). Так как интересующие нас поправки в Q и Г^ имеют лога- рифмический характер, то с их учетом Q и Г^ будут отличаться от G и 7^ медленно меняющимися логарифмическими множите- лями. Поэтому и в точном интеграле A32.4) будет существенна та же область A32.7), что и в приближенном интеграле A32.6). Тем не менее положить просто к = 0 в Т^(р + к, р; к) нельзя: ввиду квадратичной расходимости интеграла его регуляризация требует рассмотрения также и двух следующих членов разложе- ния Г^(р + к, р; к) по степеням к. Мы, однако, ограничимся здесь обсуждением поправок к Т^(р, р, 0), достаточно ясно демонстри- рующим роль выбора калибровки и различие в характере интег- ралов, возникающих от диаграмм разных типов. Отметим также, что в аналогичном исследовании для Q нет необходимости, по- скольку поправки в Г и Q связаны друг с другом тождеством Уорда A08.8). Первой (по а) поправке к Г(]э, р\ 0) отвечает диаграмма и соответственно интеграл Г^1) = -ia J 1xG{pl)^G{Pl)YDXu{p-Pl)^. A32.9) В обычной калибровке имеем и в интеграле существенна область р2 ^> р2, в которой он лога- рифмически расходится. Вычислив интеграл -47ГШ (Р?) Во избежание недоразумений при сравнении с результатами § 117 напом- ним, что в § 117 оба электронных конца диаграммы предполагались физиче- скими, между тем как здесь предполагается р ^> \к2\ ^> гп2, т. е. обе линии заведомо не физические. 664 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII и регуляризовав логарифм, получим 4тг т2 В калибровке же Ландау вместо A32.10) получим интеграл -47ГШ Произведя усреднение по направлениям р\ и приведение мат- риц 7? найдем, что этот интеграл обращается в нуль, так что логарифмический член в Г^1) выпадает х) . В поправках второго (по а) порядка рассмотрим диаграмму р Соответствующий интеграл: Г"B) = -a2 J 1xG{p2)YG(p1)^G(p1)YG(p2ha x При обычной калибровке D-функций этот интеграл содержит член с квадратом логарифма, происходящий от области интег- рирования р\ >2>2>Р2- A32.11) Действительно, после пренебрежения р2 в аргументе функции Dyp{p2 — Pi) интегрирование по d^pi становится таким же, как в A32.9), и дает \пр?>] последующее же интегрирование по dAp2 снова имеет логарифмический характер и приводит к квадрату Ъ\{р2/т2). При выборе же для D-функций калибровки Ландау при обоих интегрированиях логарифмические члены выпадают. *) Поправки к G х в обеих калибровках, найденные из поправки Г^ с помощью тождества A08.8), согласуются, конечно, с результатами § 119. § 133 СВЯЗЬ МЕЖДУ «ЗАТРАВОЧНЫМ» И ИСТИННЫМ ЗАРЯДАМИ 665 Такая же ситуация имеет место для всех других диаграмм, входящих в скелетную диаграмму A32.12) Диаграммы же других типов, с пересекающимися фотонны- ми линиями, например, входящие в скелетную диаграмму A32.13) (ср. A06.11)), вообще не содержат членов с нужной степенью ло- гарифма ни в какой калибровке (в них нельзя выделить такую область значений переменных, в которой интеграл сводился бы к нескольким последовательным логарифмическим интегрирова- ниям). Эти рассуждения (и аналогичные для следующих членов раз- ложения Г по степеням к) подтверждают, что в калибровке Лан- дау не возникает поправок к Q и Г с нужными степенями лога- рифма, так что выражение A32.1) действительно справедливо и при условии A32.3). Функция Х>(А;2), соответствующая поляризационному опера- тору A32.1), имеет вид = ^ттг^ег A3214) Зтг ш2 В силу условия A32.3) разлагать это выражение по степеням а нет необходимости.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Асимптотическое поведение фотонного пропагатора при больших импульсах» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Прежде всего, 