Такие волны малой амплитуды в однородной неизменяющейся во времени среде легко исследуются с помощью линеаризации исходной системы уравнений. Система уравнений Эйлера: ^ + divpv = 0; р № + (vV)v)) = -Vp; p = р{р). B.2А) Это весьма сложная нелинейная система. Но в то же время она имеет ряд простых решений. В частности, однородное статическое распределение, когда Р = Ро = const, р = Ро = const, v = 0. Если теперь слегка нарушить это равновесие, положив ^'> v = vi, B.2.5а) то систему B.2.4) можно "линеаризовать". Малость возмущения означает, что \р\ | <С ро, \v\ | <C ст, где cj — скорость звука. Ниже мы увидим, что ОРО 2 2 1^Т . - . —— = ст, ст = , B.2.56) Здесь 7 — показатель адиабаты. Подставляя B.2.5а) в уравнения Эйлера и учитывая малость возмущения, прене- брегаем квадратичными и кубичными членами. В результате приходим к следующей линейной системе уравнений. ^-+podivvi =0; B.2.6а) dt H v ; B.2.66) 2.2. Примеры задач гидродинамики Эйлера 101 Звуковые волны. Полученная система, в частности, описывает звуковые волны. Действительно, продифференцировав первое уравнение по времени и исключая (с помощью второго уравнения) v, получаем классическое волновое уравнение. В этом уравнении искомой величиной является возмущение плотности р\. Как видно из уравнения B.2.66), зная р\, можно найти возмущения давления и компоненты скорости, возникающие при распространении волны. Очевидно также, что компонен- ты возникающей скорости также удовлетворяют волновому уравнению. Важные свойства звуковых волн в однородных средах можно понять на простом примере плоской монохроматической волны. При проведении расчётов с линейными уравнениями удобно пользоваться экспонентами и только в окончательных формулах, если это необходимо, брать вещественную часть от комплексного выражения. В этом случае можно написать р\ = ReAexpj—iuot + ixx} = Acos(uot — xx). B.2.8) Здесь ио — угловая частота ио = 2тг/Т, к — волновой вектор, характеризующий направление распространения волны и длину волны (\к\ = 2тг/А), Т и Л — период и длина волны. Подставляя B.2.8) в B.2.7), получаем связь частоты с волновым вектором ио2 = с2тя2. B.2.9а) Как это уже отмечалось в разделе 1.5, связь ио и к называют дисперсионным соотношением. В случае звуковой волны фазовая скорость для всех длин волн одна и та же и равна cj: ^ = ^ = уФ = ст. B.2.96) ах к Заметим, что, волны, распространяющиеся в плазме, как правило, этим свойством не обладают, т. е. фазовая скорость зависит от к. Звуковые волны — продольные волны, поскольку смещение частиц среды v при их распространении параллельно волновому вектору (см. B.2.66)) v = x^. B.2.9b) UOpo Поперечные "волны" в газе. Нетрудно убедиться, что переход от полной линейной системы уравнений B.2.6) к уравнению B.2.7) для звуковых волн сопровождается потерей одного типа структур. Действительно, если в B.2.6) подставить B.2.8), то получится система из четвех однородных алгебраических уравнений первого порядка -иорх + poxkvx = 0; B.2.10а) uopovx -c2Txpx =0. B.2.106) Эта система имеет нетривиальные решения, если её детерминант равен нулю: —ио -с2тях иоро 0 0 D(u, x) = —с^Ку 0 иоро 0 z 0 0 иоро B-2.11) 102 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы Очевидно, этот детерминант и есть общее дисперсионное уравнение для данного случая. В него входят два существенно разных сомножителя J1 = 0, J1 - с2Тя2 = 0. B.2.12а) Второе выражение описывает рассмотренные выше звуковые волны. А первое — стационарную конфигурацию. Подставив в B.2.10) и = 0, получаем решение в виде xvi = 0, pi=0. B.2.126) А это означает, что здесь имеет место стоячая "волна". То обстоятельство, что имеется два корня (и2 = 0), указывает на возможность двух ориентации смещений среды по отношению к волновому вектору, т.е. две поляризации. Более наглядно природа "волн" с ио = 0 выступает, если рассмотреть плоский случай. Тогда единственное уравнение, описывающее эти возмущения, будет иметь вид я я _ дщ^ дщу_ дх ду B.2.12в) Поступим теперь полностью аналогично тому, что было сделано ранее, когда рас- сматривались симметричные магнитные поля. А именно, вводим функцию потока ду дх B.2.12Г) И тем самым автоматически удовлетворяем уравнению B.2.12в) при любом виде ф(х,у). Очевидно, что траектории "капель" жидкости, как и силовые линии магнит- ного поля, есть линии ф(х,у) = const. B.2.12д) В частности, полагая a b 2 I \а Ь) \а получим мозаику вихрей (рис. 2.2.1), которая возникает как суперпозиция двух "косых волн". B.2.13) i 0 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 0 У Рис. 2.2.1. "Мозаика" вихрей а б Рис. 2.2.2. Плоская модель обтекания крыла са- молёта: а — дозвуковым потоком; б — сверхзву- ковым потоком Обтекание тонких профилей стационарным однородным потоком газа. Выше были рассмотрены малые возмущения однородного неподвижного газа. Эта модель автоматически обобщается на случай, когда в качестве невозмущённого состояния берется движущийся с постоянной скоростью однородный поток Р = Ро = const, v = vq = const. B.2.14а) 2.2. Примеры задач гидродинамики Эйлера 103 В этом случае уравнения для звуковых волн, как нетрудно убедиться (либо непосред- ственно линеаризуя систему B.2.4) при условии B.2.14а), либо применяя к B.2.7) преобразование Галилея), принимает вид 2 B.2.146) Это уравнение можно использовать, в частности, для анализа обтекания однородным потоком "тонких профилей" — например, крыла самолета. Если процесс рассмат- ривается в системе отсчёта, связанной с крылом ("с точки зрения пассажира"), то процесс будет стационарным, и тогда d/dt = 0. В результате получаем уравнение (v0VJpi=4APl. B.2.14b) В плоском случае, направив ось х вдоль скорости набегающего потока, уравнение B.2.14в) можно записать в виде Отсюда видно, что если скорость набегающего потока дозвуковая (г^о < Ст), то полученное уравнение является уравнением эллиптического типа. А это означает, что все возмущение потока оказывается сосредоточенным около самолета. Но если ^о > Ст, уравнение становится гиперболическим, и описываемые им возмущения уходят на бесконечность (рис. 2.2.2). Это хорошо известные ударные волны, по- рождаемые сверхзвуковыми самолетами. При этом зона возмущения имеет ширину порядка ширины крыла.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Линейные волны в однородном газе» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
