Для описания движе- ния электронов в поле фотонов реально существующих (обус- ловливающих вынужденные переходы), а также виртуальных, т. е. еще не появившихся (обусловливающих спонтанные пере- ходы), воспользуемся нестационарным уравнением Шредингера, которое при наличии не только электрического, но и магнитного поля принимает вид [см. E.9 а)] Отбрасывая величины второго порядка малости, пропорцио- нальные Л2, и учитывая условие поперечности электромагнит- ных волн поля фотонов (div A= 0), а также соотношение (рА) -ф = (Ар) \J> -f ^ — div Л, что приводит к коммутативности (в скалярном произведении) оператора р с вектор-потенциалом А (А А A0.2) мы можем уравнение A0.1) привести к виду Здесь гамильтониан Н° при отсутствии поля фотонов не зависит от времени а потенциальная энергия, получившая название энергии воз- мущения, равна: ^ A0.4) Заметим, что далеко не все волновые уравнения могут быть решены точно. Это замечание относится также и к уравнению A0.3). Для решения подобных уравнений приходится прибе- гать к различным приближенным методам. Одним из таких ме- тодов, получившим наиболее широкое распространение, является метод теории возмущений. Этот термин заимствован из астро- номии, где он с успехом использовался при исследовании дви- жения двух или более планет вокруг Солнца с учетом взаимо- действия планет между собой. Последнее дает некоторое «возму- щение» по сравнению с кеплеровским движением. § 10. Теория переходных процессов 129 Метод теории возмущений в квантовой механике применяет- ся в том случае, когда так называемая энергия возмущения V приводит к небольшим поправкам к основному (т. е. без V) решению. Последовательное вычисление этих поправок (первое, вто- рое, третье и т. д. приближение) дает, как правило, разложе- ние по некоторому параметру. В квантовой механике развиты два основных метода теории возмущений: 1) метод теории возмущений Шредингера; 2) ме- тод теории возмущений Дирака. 1) Метод теории возмущений Шредингера, как правило, ис- пользуется, когда энергия возмущения не зависит от времени или когда время в энергии возмущения может быть исключено с помощью какого-либо преобразования. Этот метод особенно просто позволяет найти, например, поправки к спектру энергии в стационарных задачах [более подробно см. ниже (§ 15)]. 2) Метод теории возмущений Дирака, который мы хотим использовать для решения уравнения A0.3), пригоден и для нестационарных задач, когда энергия возмущения зависит ог времени. Остановимся здесь на методе теории возмущения Дирака, который, в частности, позволяет построить теорию переходных процессов. Допустим, что мы знаем собственные значения и собствен- ные функции невозмущенного (V7/ = 0) стационарного уравне- ния Шредингера ? HV A0.5) Тогда полное решение нестационарного, но невозмущенного уравнения Шредингера мы можем представить в виде г}?('@ = 2j Спе *"**. (Ю.7) п где Сп — некоторые постоянные коэффициенты, квадрат мо- дуля которых характеризует вероятность нахождения частицы ь квантовом состоянии п. При учете в уравнении A0.3) энергии возмущения V мы общее решение также ищем в форме A0.7) [\f>n и Еп — собствен- ные функции и собственные значения стационарной задачи A0.5)], но вводим дополнительное условие, согласно которому коэффициенты Сп должны быть функциями времени. Матема* 9 Зак ИЬ 130 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА тически этот метод напоминает решение дифференциальных уравнений способом вариаций постоянных коэффициентов. По- скольку под действием возмущения вероятностные коэффици- енты Сп сами должны быть функциями времени, становится воз- можным описать переход электрона из одного квантового со- стояния в другое. Подставляя решение A0.7) в уравнение A0.3) и считая, что коэффициенты Сп зависят от времени, мы найдем, учитывая еще равенство A0.5): Умножим обе части равенства на ф*,?* n dzxf и проинтегри- руем по всему пространству. Тогда, принимая во внимание ус- ловие ортонормированности получаем систему следующих уравнений для определения коэф- фициентов С«/: ~ 7 С*' = S Cn-em"'«'V'n>n* {t)t A0.10) где частота h а матричный элемент ftf A0.12) Заметим, что система уравнений A0.10) является точной, т. е. совершенно эквивалентной начальному уравнению A0.3), Однако в общем случае решить ее точно невозможно и аппрок- симация теории возмущений состоит в том, что решение ищется в виде разложения Сп> = Сп> + Сп: + С"п>+ ..., A0.13) где коэффициенты нулевого приближения С% не должны зави- сеть от V. Коэффициенты же первого приближения С'пП вто- рого приближения С%, и т. д. должны быть пропорциональны соответственно 1//, {V'J и т. д. Подставляя A0.13) в A0.10) и учитывая лишь члены нуле- вого и первого приближения, находим следующую систему § 10. Теория переходных процессов 131 С«' = 0 (нулевое приближение), A0.14) нений для определения коэффициентов Сп>: риближен j? (первое приближение) п" и т. д. Первое из уравнений A0.14) показывает, что искомые коэф- фициенты в нулевом приближении не должны зависеть от вре- мени, т. е. Л = const. A0.15) Их значения задаются начальными условиями и характеризуют начальное состояние электрона до того, как на него начинает действовать возмущение. Допустим, что в начальный момент времени, т. е. при / = 0 электрон находится в состоянии п. Тогда можно написать Cl* = bnn*. A0.16) Последнее выражение определяет начальные условия нашей задачи. Подставляя A0.16) в A0.14), находим (п' = п): t С* = Cn>(t) = - т J dteit"n'nVn>n(t). (Ю.17) о Как правило, в квантовой механике вычисляется вероятность перехода до за единицу времени. Учитывая, что вероятность на- хождения частицы в состоянии п' равна квадрату модуля ам- плитуды | С* I2, Для вероятности перехода в единицу времени, получаем выражение w = ~2u\Cn'?. A0.18) Формулы A0.18) и A0.17) и лежат в основе исследований мно- гих квантовомеханических задач первого приближения неста- ционарной теории возмущений. С помощью этих формул можно, в частности, построить теорию переходных процессов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Нестационарная теория возмущений» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
