Для сокращения записи страховых аннуитетов и упрощения расчетов применяют так называемые коммутационные функции (commutations functions), или коммутационные числа. Смысл этих чисел трудно, хотя и возможно, содержательно интерпретировать. Их проще воспринимать как чисто технические, вспомогательные средства. Стандартные коммутационные функции делятся на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых — числа умерших. Кратко остановимся на методике получения наиболее важных в практическом отношении функций. Основными в первой группе являются функции D и N' Dx=lxv*, (16.8) AT,- f Лу> (16.9) J-x где v — дисконтный множитель по сложной ставке /, о> — предельный возраст, учитываемый в таблице смертности. 339
По определению NM = Д.. В некоторых актуарных расчетах необходимы суммы коммутационных чисел Dx для заданных возрастных интервалов. В этих случаях можно воспользоватся коммутационными числами Nx: к /-1 На практике применяются еще два варианта функции Nx, к которым обращаются тогда, когда платехси производятся т раз в году. Так, для платежей постнумерандо с достаточной для практических расчетов точностью применим следующее выражение: N(m)m N + D (16.10) х х 2т х v ' Для платежей пренумерандо "(*m)~N*-J!LirD*- <1611) Наиболее важными коммутационными функциями второй группы являются Сх и Мх\ Cx = dxvx+{, (16.12) Мх- jCy. (16.13) ]-х Между коммутационными числами обеих групп существуют определенные взаимозависимости: Сх = ^х = (/- - WV*H = ixV*v - Jx+{V^ = DxV - Dx+i, Аналогично можно доказать, что Мх = Nxv - Л^,. Страховые организации разрабатывают таблицы коммутационных функций с учетом принятых в них норм доходности. 340
X (г Dx Л, -цш- с. мх 18 100 000 21 199 244 593 254 309 28,98 1003,6 19 99 851 19 420 223 393 232 294 30,82 974,7 20 99 678 17 786 203 973 212 125 31,98 943,8 30 96 991 7310 80 677 84 027 25,55 648,9 35 94 951 4651 49 910 52 042 20,78 530,3 40 92 327 2940 30 376 31 723 19,09 431,4 50 83 640 1125 10 465 10 981 14,54 260,7 60 68 505 389 3082 3261 10,25 134,7 70 45 654 ПО 684 734 5,72 53,1 80 19 760 20 85 95 2,14 13,0 При страховании супружеских пар возникает необходимость в коммутационной функции: О = / х v(x+y)/2 "ху ху Величина / определена при расчете прху (см (16.6)). (16.14) Функцию (16.14) можно получить на основе коммутационных функций Dx, Dy следующим образом: Z)^, = DxxDyx v-W2 = Dx x Dy x (1 + 0<^)/2. (16.15) В свою очередь
'ху+п ху+п *xv+n * v >
- *U * А** * У-Ь^Й/Я = Л ж Л. х (1 + |)^(^)/2. Поскольку произведения коммутационных чисел имеют большую размерность, то их обычно умножают на 10~3. 1 Подсчитано по таблице смертности населения СССР (см. § 16.2) при условии, что / = 9%. Полная таблица содержится в Приложении (см. табл. 12). 341
ПРИМЕР 16.5. Определим коммутационные числа О50;45 и О55;50 для супружеской пары примера 16.4. Находим: (х + у) I 2 = (50 + 45) / 2 = 47,5. Коммутационные числа при условии, что процентная ставка равна 9%, имеют следующие значения (первая строка — для мужчины, вторая — для женщины): 0^= 1124,8; 055 = 673,1; 0^= 1991,9; О50= 1268,8. Отсюда D50;45 = 10~3 х 1124»8 х 1991'9 х 1.0947-5 = 134 308; D55.50 = Ю"3 х 673,1 х 1268,8 х 1,095+47-5 = 78 770. По аналогии с функцией Nx найдем: <а-у "Ху- 2D*W (1616) t -О
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Коммутационные функции» з дисципліни «Фінансова математика»
