Шпаргалки! - Математика

1. Основні поняття теорії множин.
Множина – це сукупність об'єктів спільної природи. Її можна задати списком, тобто переліком її елементів, або вказавши спільну для елементів множини ознаку чи властивість. Множина називається скінченою або нескінченною, в залежності від того скінчену чи нескінченну к-ть елементів вона містить. Для позначення множин – А,В, для позначення елементів множини а,b. Множина, що не містить жодного елемента називається порожньою і позначається Æ. a є А (a - є елемент множини А, є – символ приналежності). А – множина називається підмножиною множини В, якщо вона складається з усіх, або деяких елементів множини В, при цьому записується А с В
(с – символ включення). А с А – будь яка множина є підмножиною самої себе. Дві множини А та В називаються рівними А=В, якщо кожний елемент множини А є елементом множини В і навпаки.
(Приклад: А={x є R : -1 £ x £ 2}. А є множиною дійсних чисел, що задовольняють таку нерівність. Задати таку множину списком – неможливо. ē – не належить. " - квантор загальності і читається так: для кожного, для будь-якого, для всіх. $ - квантор існування. $ - не існує.
È і Ç - символ об'єднання і перетину множин, при цьому об'єднанням двох множин А та В називається множина С, С= А È В, яка складається з елементів, що належать, хоча-би одній множині А та В. Графічно об'єднання двох множин можна зобразити за допомогою діаграми Вєнни. Перетином двох множин А та В називається множина С, С = А Ç В, яка складається з елементів, що належать і множині А і множині В. Різницею двох множин А та В називається множина С, С = А \ В, яка складається з тих елементів множини А, які не належать множині В.
Зауважимо, що А с В; В с С => А с С – властивість транзиторності. => – символ для позначення слова "випливає". <=> – знак рівносильності.
2. Абсолютна величина дійсного числа.
Абсолютна величина дійсного числа х називається саме число, якщо воно невід'ємне і протилежно йому число, якщо задане – від'ємне. ( Приклад: |a| = { a, якщо а ³ 0; -a, якщо а < 0 ).
Абсолютна величина дійсного числа (модуль) має такі властивості:
1) |x| £ a <=> - a £ x £ a 2) |xy| = |x| |y| 3) |x / y|= |x| / |y| 4)|x+y| £ (не більше) |x|+|y|
5) |x-y| ³ (не менше) |x|-|y|
Числові проміжки.
Між множиною дійсних чисел та множиною точок числової прямої встановлюється взаємно-однозначна відповідність, тобто кожне число зображується однією точкою числової прямої і навпаки.
1) [a;b] = { x є R : a £ x £ b } 2) [a;b [ = [a;b) = {x є R; a £ x < b} 3) ]a;b] = (a;b] = x є R; a < x £ b
4) ]a;b[ = (a;b) = x є R; a < x <b 5) -¥ < x < +¥
Околом дійсного числа (точки х) називається будь-який інтервал, що містить цю точку. Епсилон околу точки х називається інтервал довжиною 2e з центром в цій точці. Якщо значення х попадають в епсилон-околу цієї точки, то це означає, що виконується нерівність |x|< e <=> -e < x <e
3. Поняття функції та способи її задання.
Розглянемо дві числові множини х і у, якщо кожному значенню х, за деяким правилом, або законом f, ставлять у відповідність конкретне значення y є У, то говорять, що на множині х задана числова функція із значенням в множині У, при цьому записують у = f(x). Х – область визначення функції D(y) – це множина таких дійсних значень х, при яких вираз f(x) існує. Зауважимо, що так сформульовані означення функції передбачає однозначну відповідність між елементами множини х і у. Способи задання функції:
1) Табличний – представляє собою таблицю виду в якій в порядку зростання вказані значення аргументу х та відповідні їм значення самої функції. Переваги: для вказаних в таблиці значень аргументу вдомі відповідні значення функції. Недоліки: в тому, що для відсутніх вказаних в таблиці значень аргументу, ми не можемо вказати відповідні значення функції.
2) Графічний – графіком функції у = f(x), називається лінія, побудована в декартовій системі координат, яка описується рівнянням у = f(x) і має таку властивість: будь-яка пряма паралельна осі ОУ перетинає цю лінію не більше ніж в одній точці, при цьому відповідність між значеннями х і у з допомогою графіка встановлюється так, як на малюнку.
3) Аналітичний – цей метод представляє собою задання функції за допомогою формули, яка описує закон відповідності між х та у. При цьому аналітичний спосіб задання функції передбачає:
а) описати з допомогою формули функцію задану явно у = f(x) (1). Тобто формула (1) показує (її права частина) які операції, в якій послідовності треба виконати над аргументом х, щоб знайти відповідні йому значення у. Зауважимо, що явно задані функції можуть описуватися однією формулою виду (1) для всіх значень аргументу функції із області визначення, або задаватися різними формулами для різних проміжків області визначення. у = {x, x ³ 0; 2, x > 0} (2). Аналітичний спосіб передбачає задання неявних функцій, при цьому говорять, що функція у = f(x) задана неявно, якщо залежність між х і у задається за допомогою рівняння F(x;y(x))=0 (3). Отже явно задану функцію у = f(x) завжди можна задати і неявно. у = f(x) <=> y-f(x)=0, але не завжди неявно задану функцію можна буде описати явно, тобто перехід від рівняння (3) до (1) – не завжди можливий. (Приклади: 1) y+x³-4=0; y=4-x³ 2) exy + y2 = 0 – описати явно неможна).
4) Словесне - існують випадки функцій в яких залежність між х та у неможливо виразити якоюсь аналітичною формулою, але можливо описати закон відповідності між х та у словами. Прикладом такої функції є функція, яка має назву Антьє від х (ціла частина дійсного числа х), яка позначається одним із символів Е(х) і дорівнює [x]. Визначається так: кожному дійсному значенню х ставить у відповідність ціла частина цього дійсного числа.
4. Монотонність функції.
Функція, яка тільки зростає, або тільки спадає, на даному числовому проміжку, називається монотонною. Термін монотонна функція об'єднує поняття: зростаючої, спадної, не зростаючої (строго монотонна), не спадної, постійної (не строго монотонна).

Обмежені та необмежені функції.
у=f(x) – називається обмеженою зверху (знизу), на деякій множині х, якщо для будь-якого значення х, з цієї множини існує таке число М(м), що f(x) £ М (зверху), м £ f(x) (знизу). Функції обмежені зверху і знизу будем називати обмежені у множині х. у=f(x) – обмежені на
Х <=> (" x є X $ м,М; м £ f(x) £ М, але частіше нерівність м £ f(x) £ М в означенні обмеженої функції заміняють на нерівність |f(x)| £ A, таку, де А = мах(м,М). Графік обмеженої функції розміщається в горизонтальній полосі у є [-A;A]. Прикладом обмеженої функції є функції типу y=sinx; y=cosx. Якщо таких чисел м,М для функції не існує, то функція називається необмеженою.
5. Періодичні функції.
Говорять, що функція у=f(x) – визначена на всій числовій осі періодично, з періодом Т>0, якщо f(x±T)=f(x). Якщо Т – період функції f(x), то і кратні йому числа будуть теж періодами цієї функції. Тобто, якщо f(x+T)=f(x), f(x+kT)=f(x), k=±1, ±2, ±3... K – найменший період. Для побудови графіка періодичної функції достатньо побудувати частину цього графіка, на будь-якому проміжку, довжина = Т, а після цього продовжити періодично цей графік вліво і вправо на сусідні проміжки довжиною Т.
Парні та непарні.
Функція f(x) – називається парною чи непарною, якщо вона визначена на симетричному, відносно початку координат, проміжку; f(-x)=f(x) – парна; f(-x)= - f(x) – непарна. Графік парної функції симетричний відносно осі ОУ, непарної – відносно початку координат. Більшість функцій не відносяться ні до числа парних, ні до числа непарних. Вони називаються функціями загального виду, але будь-яку функцію можна представити у вигляді суми парної і непарної функції, якщо задана функція визначена на симетричному, відносно початку координат, проміжку. Приклад: f(x)=[ f(x)+f(-x) ] / 2 + [ f(x)-f(-x) / 2 ] – тотожні вирази.
6. Поняття складної функції.
y=f(u); u=j(x), то у=f [j(x)] – називається складною функцією змінної х, при цьому функція u називається проміжковим аргументом (залежна змінна). х – незалежна змінна. Приклад: y=- складна функція, у=, u=x3
Поняття оберненої функції.
Нехай на множині х, визначена функція y=f(x) (1), із значеннями у множині У. Якщо при цьому кожному значенню у із У відповідає х з Х, для якого f(x)=y, то на множині У можна визначити функцію х=j(y) (2). Множини Х і У можуть бути довільними числовими множинами. Визначена таким чином функція (2) називається оберненою до заданої функції (1). Враховуючи, що традиційно аргумент функції позначають через х, а саму функцію через у, перепишемо (2), перепозначивши х на у, а у на х: y=j(x) (3). Геометрично така заміна означає, що графіки обернених функцій ( (2) обернене до (1); (1) – до (2), а разом ці функції називаються взаємооберненими) симитричні відносно бісектриси перпендикуляра та трьох координатних кутів. Теорема існування оберненої функції: якщо функція = f(x) – зростає, або спадає на множині Х, то на відповідній множині У існує однозначна обернена функція х=j(у). Також зростаюча, або спадаюча. Прикладами взамно-обернених функцій із відомих елементарних функцій є показникова і логарифмічна.
7. Елементарні та неелементарні функції.
Функція у=f(x), задана на множині Х, називаєтсья елементарною, якщо її можна задати з допомогою у=f(x) так, щоб її значення, при будь-якому х може бути одержане з допомогою скінченного числа елементарних операцій (+, -, *, /, ах, корінь з а, логарифм з ах. Обчислення значень тригонометричних та обернено-тригонометричних функцій, при чому, число операцій, самі операції, та порядок їх виконання – не залежать від значення аргументу х. До елементарних функцій відносяться всі основні елементарні функції (степенева, показникова, логарифмічна, тригонометрична і обернена тригонометрична, а також функції, одержані із них, з допомогою скінченного числа елементарних операцій).
8. Числова послідовність та її границя.
Числова послідовність – це функція, задана на множині натуральних чисел. Ця функція ставить у відповідність кожному натуральному числу n=1,2,3... деяке дійсне число xn, тобто xn = f(n) (1). Формула (1) задає числову послідовність {xn}, x1, x2, x3... xn, - (2) – це інша форма запису числової послідовності (1), при цьому числа x1, x2 – називається членами числової послідовності, а xn – загальний член числової послідовності. Отже числову послідовність можна задати, або з допомогою формули її загального члена, або в розгорнутому вигляді (2), але в останньому випадку не завжди буває записано xn, тоді виникає необхідність, проаналізувавши закономірність за якою одержали x1, x2, x3... xn, і т.д., в залежності від значень n, побудувати формулу (1).
Границя. Означення (1): число а називається границею числової послідовності {xn}, при n®¥, якщо для будь-якого, як завгодно малого додатного числа е існує таке натуральне число N, залежно від е, що для всіх номерів n>N, виконується нерівність | xn – a | < e, при цьому записують: lim xn . Означення (2) – числова послідовність, яка має скінченну границю називається збіжною, в противному x->¥ випадку, послідовність називають розбіжною. Якщо число а – границя послідовності xn, то говорять, що послідовність збігається до числа а.
Теорема 1. (Необхідна умова існування границі числової послідовності) : якщо послідовність має границю, то вона обмежена.
Теорема 2. (Достатня умова існування границі числової послідовності) : будь-яка монотонна числова послідовність має границю.
Теорема 3. (Про єдиність границі числової послідовності) : будь-яка послідовність має не більше однієї границі.

9. Границя функції, властивості границі.
Означення 1 (на мові e, б) – число А називається границею функції f(x), при х®а (або границею функції в точці а), якщо f(x) – визначена в деякому околі точки a, за вийнятком, можливо, самої точки А і якщо, для будь-якого, як завгодно малого, наперед заданого додатного числа е, існує таке число D, залежне від е і додатне, що для всіх х, які задовольняють нерівність |x-a| < D, для функції f(x) виконується нерівність | f(x) – A < e|, при цьому записується А=lim f(x). Зауваження: значення а і А можуть бути як скінченними, так і нескінченними, тому можна розглядати
х®а випадки скінченних, або нескінченних границь функції f(x) в точці а або на ¥ (а = ±¥). Нескінченно мала, або нескінченно велика границя, якщо границя = 0 (±¥).
Означення 2 (на мові послідовності) – число А називається границею функції a в точці А, якщо вона визначена в деякому околі точки а, за вийнятком, можливо, самої точки А. Якщо для будь-якої послідовності xn, її аргументів, збіжної до числа а відповідна послідовність значень функції, збігаються до числа А.
Теорема: якщо змінна величина – нескінченно мала, то обернена до неї величина – нескінченно велика і навпаки.
Зауваження: зміст цієї теореми виражається такими записами: 1/0=¥; 1/¥=0.
Теорема про границі: нехай функції f(x) та j(x) визначені в деякому околі точки а і мають скінченні границі lim f(x)=A; lim f(x)=B, тоді границя суми, різниці, добутку та частки цих функцій існує і = відповідно сумі, різниці, добутку x->0

 x->0 та частці цих границь, тобто:
1) lim [f(x) ± j(x) ] = [ lim f(x) ] ± [ lim j(x) ]=A±B
x->a x->a x->a
2) lim [f(x) * j(x) ] = [ lim f(x) ] * [ lim j(x) ]=A*B
x->a x->a x->a
3) lim f(x) / j(x) = lim f(x) / lim j(x)=A/B
x->a x->a x->a
Теорема 2: Про граничний перехід в нерівностях. Якщо для всіх значнь х із деякого околу точки а, за вийнятком самої точки для функції f(x) та j(x) виконується нерівність f(x) < j(x), то lim f(x) = lim j(x). Зауваження: ця теорема справедлива і для випадків нерівностей (£, >, ³).
Теорема 3: Ознака існування границі функції (принцип двох міліціонерів). Якщо для всіх значень х¹а із деякого околу точки а виконується нерівність j(x) £ f(x) £g (x); при цьому lim j(x)=lim g(x) = A, то lim f(x)=A.
x->a x->a x->a