Свободное движение часгиц. Нормировка волновых функций в случае непрерывного спектра
Рассмотрим свободное движе- ние частицы. В простейшем одномерном случае ( — оо<х<оо) уравнение Шредингера ^Ц, D.37) 48 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА где fe = y, D.38) имеет решение: ^ = Aeikx + Be-ikx. D.39) Для выяснения физического смысла этого решения напишем полную волновую функцию »к//\ — р — Шии — Ар — 1(Ш—kx) _j_ Dn — i(<dt-bkx) (Л ЛГ\\ Отсюда видно, что первое решение Ае~^ш~кх^ описывает движение волны в одном направлении оси х, а второе Be-i((dt+kx) — в противоположном направлении. Ограничиваясь одной бегущей волной для стационарной части волновой функ- ции тр, имеем: «ф = Д?^*. D.41) -Ь<х> Нетрудно убедиться, что выражение J a|A|)dx расходится, и, следовательно, прежний способ нормировки [см. D.10)] требует пересмотра. Существуют два основных способа нормировки таких функ- ций. В первом из них, предложенном Борном, вместо граничных условий на волновую функцию -ф накладывается условие перио- дичности = 1р(* + 1). D.42) Введенная таким образом длина периодичности L может быть выбрана сколь угодно большой (L-^oo), поскольку она, как правило, не входит в конечный результат. При другом способе нормировки используется так называемая дельта-фуикция Дира- ка (см. конец этого параграфа). Рассмотрим первый способ нормировки. Согласно условию периодичности D.42) получаем, что eikL = 1. Отсюда находим D.43) где п = 0, ±1, ±2, ±3, .... При этом для спектра энергии со- гласно D.38) и D,43) имеем: § 4. Стационарное уравнение Шредингера 49 Так как функция \|э является периодической на отрезке L, то усло- вие нормировку принимает вид: -L/2 Подставляя сюда выражение D.41) для г|), получаем: A D-46> Поэтому нормированные решения равны . 2пп $п = Ь-Ч*е*** = ь-ъе г~хя D.47) Легко показать, что функции D.47) не только нормированы, но и ортогональны, в чем нетрудно убедиться путем непосредствен- ного интегрирования L/2 Ш -L/2 -L/2 sin п(п-п') j ° ПРИ п'ф, я (*-*') \ 1 при /г' = п. Таким образом, вводя искусственным путем длину периодично- сти, мы делаем тем самым непрерывный спектр дискретным. Од- нако если в конечном результате длину L стремить к бесконеч- ности, то этот дискретный спектр станет непрерывным. В самом деле, учитывая, что k = -у = ^jj~ и An = 1 для разности АЕ со- седних энергетических уровней, находим значение Отсюда непосредственно следует, что, если L->oo, то Д?—>0, т. е. спектр энергии будет непрерывным. Обобщим рассмотренную задачу на трехмерный случай дви- жения свободной частицы. Уравнение Шредингера при этом сле- дует записать в виде 1kh = 0- D-50) Здесь, как и в одномерном случае, k определяется формулой D.38). Будем решать уравнение D.50) методом разделения перемен- ных, т. е. представим волновую функцию ф в виде D.51) 4 Зак 328 50 ЧАСТЬ Г НЕРРЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Подставляя это выражение для уравнения D.50) и умножая по- лученное выражение на <Ф ~ я|> W * (У) Ф (*) ' находим где штрихи обозначают производные по аргументу соответствую- щей яр-функции. Последнее соотношение имеет место только в том случае, если каждая из дробей равна некоторой постоянной величине. Поэто- му мы получаем независимые уравнения для каждой из яр-функ- ций а|/' (х) + /ф|) (х) = 0, Г (у) + Щ$ (у) = 0, ф" (г) + Щ (г) = 0, D.53) причем k2{ + k22 + k\ = k2. D.54) Выбирая в качестве решений полученных уравнений D.53) бегущие волны в некотором определенном направлении, имеем: ${х) = Aeik**f г|> (у) = Beik>y, ^ (z) = Ceik#. D.55) Неизвестные постоянные А, В и С определяются из условия нор- мировки, причем так же, как и в одномерном случае. Функции ^ (<*')> ty(y) и ф(г) следует считать периодическими на некоторых отрезках длины L, которые в совокупности образуют куб объема L3: ¦ W-L-V^, ¦M-L-V*", D.56) ФB) = 1"?Ч Здесь и ._ 2jT /> _ 2тт /, — 2jt К\ — П\ ~~?~ » &2~ Щ~?~ > ^3 — ^3~?~ > а D.57) л,, п2, «з = 0, ±1, ±2, ±3, Энергия частицы в этом случае равна К + Д2 + ^i) - Подставляя в D.51) соотношения D.56), находим выражение для функции ь я L-V*r - L^^(felX + ^ + fe32), D.59) из которого следует условие ортонормированности f г|Л ' * d3x-б '6 /в '. D.60) § 5. Нестационарное уравнение Шрелингера 51 Полная волновая функция \f>@» зависящая как от координат, так и от времени, запишется в виде: r\ D.61) где p = fift> ?=<?:• <4-62) Отметим попутно, что энергетический спектр в данном случае, как и при одномерном движении, оказывается непрерывным. В этом нетрудно убедиться, если по аналогии с линейной задачей найти разность энергий двух соседних уровней и положить за- тем L—> оо. При втором способе нормировки (т. е. нормировки на 6-функ- цию) свободного одномерного движения г|) (р) - Ае1^\ г|5* (р') = А'те~ч>'х1Н D.63) мы должны положить J V (рО * (р) dx = 6(p- рО, D.64) где б-функцию представим через интеграл Фурье D.65) Подставляя решения D.63) в D.64) и делая замену -|- = ?, имеем A'*Ab J e'W-p'^dl^ 6(/? — р'). Отсюда находим, что 4 i" D'66) Нормировка на б-функцию оказывается более удобной, чем нормировка Борна при исследовании непрерывного спектра в слу- чае наличия поля *.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Свободное движение часгиц. Нормировка волновых функций в случае непрерывного спектра» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
