Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относительно которой он определен. В меха- нике твердого тела наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной системы координат, т.е. центра инер- ции тела. Ниже мы будем понимать под М момент, определен- ный именно таким образом. Согласно формуле (9.6) при выборе начала координат в центре инерции тела его момент М совпадает с «собственным моментом» , связанным лишь с движением точек тела отно- сительно центра инерции. Другими словами, в определении М = ^2m[rv] надо заменить v на [fir]: М = ?m[r[ftr]] = ? тп{г2п - г(гП)}, или в тензорных обозначениях: Наконец, учитывая определение C2.2) тензора инерции, полу- чаем окончательно: Мг = Iikuk. C3.1) Если оси Ж1, #2, ^3 направлены вдоль главных осей инерции тела, то эта формула дает: Mi=Jifib М2 = 12^2, Ms = Isns. C3.2) В частности, для шарового волчка, когда все три главных момента инерции совпадают, имеем просто: §33 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА 141 М = /ft, C3.3) т.е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет одинаковое с ним направление. В общем же случае произвольного тела вектор М, вообще говоря, не совпадает по своему направлению с вектором ft, и лишь при вращении тела вокруг какой-либо из его главных осей инерции М и ft имеют одинаковое направление. Рассмотрим свободное движение твердого тела, не подвер- женного действию каких-либо внешних сил. Не представляющее интереса равномерное поступательное движение будем предпола- гать исключенным, так что речь идет о свободном вращении тела. Как и у всякой замкнутой системы, момент импульса свобод- но вращающегося тела постоянен. Для шарового волчка условие М = const приводит просто к ft = const. Это значит, что общим случаем свободного вращения шарового волчка является просто равномерное вращение вокруг постоянной оси. Столь же прост случай ротатора. Здесь тоже М = /ft, при- чем вектор ft перпендикулярен к оси ротатора. Поэтому сво- бодное вращение ротатора есть равномерное вращение в одной плоскости вокруг направления, перпендикулярного к этой плос- кости. Закон сохранения момента достаточен и для определения бо- лее сложного свободного вращения симметрического волчка. Воспользовавшись произвольно- стью выбора направлений главных осей инерции Ж1, Ж2 (перпендикуляр- ных к оси симметрии волчка жз), вы- г' берем ось Ж2 перпендикулярной к чч плоскости, определяемой постоян- ным вектором М и мгновенным по- ложением оси жз- Тогда М2 = О, а из формул C3.2) видно, что и Г^ = 0. Это значит, что направления М, ft и оси волчка в каждый момент време- ни лежат в одной плоскости (рис. 46). Но отсюда в свою очередь следует, что скорости v = [ftг] всех точек на оси волчка в каждый момент времени перпендикулярны к ука- занной плоскости; другими словами, ось волчка равномерно (см. Рис. 46 142 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI ниже) вращается вокруг направления М, описывая круговой конус (так называемая регулярная прецессия волчка). Одновре- менно с прецессией сам волчок равномерно вращается вокруг собственной оси. Угловые скорости обоих этих вращений легко выразить че- рез заданную величину момента М и угол наклона 6 оси волчка к направлению М. Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто проекция Лз вектора Q на эту ось: Для определения же скорости прецессии Лпр надо разложить вектор ft по правилу параллелограмма на составляющие вдоль х% и вдоль М. Из них первая не приводит ни к какому пере- мещению самой оси волчка, а потому вторая и дает искомую угловую скорость прецессии. Из построения на рис. 46 ясно, что Г^пр sin 6 = fix, а поскольку fix = M\jl\ = M sin 0/ii, то получаем Оф = М/Д. C3.5)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Момент импульса твердого тела» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
