Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Фізика твердого тіла

Число мод, плотность состояний

В упругой среде могут возбуждаться любые колебания,
однако число различающихся друг от друга мод колебаний
решетки конечного размера из дискретных атомов строго
ограниченно.
Для того чтобы найти распределение этих мод по частотам
или волновым векторам, рассмотрим линейную одноатомную
цепочку из N+1 атомов, имеющую длину Na.
Предположим, что концевые атомы, находящиеся на концах це-
6 Nilsson G., Rolandson S.— Phvs. Rev., B7, 2393 (1973).
7 Brockhouse В. N. et al.— Phys. Rev., 128, 1099 (1962).
8 Kohn №.-Phys. Rev. Lett, 2, 393 (1959).
132
Гл. 2. Динамика решетки
почки, закреплены, т. е. U\ = 0 и *%+1 = 0. Тогда в этой цепочке
могут возбудиться лишь такие продольные и поперечные
колебания, для которых на длине Na уложится 1, 2, 3... или N
полуволн. Волновые векторы этих разрешенных
колебательных мод удовлетворяют соотношениям
, я 2я Зя я /0 ОЛЧ
k=—r-' — , ——, ... или —. (2.20)
Na Na Na а
Заметим, что эти колебания разделены одинаковыми
интервалами.
Разумеется, при больших N интервал очень мал, и при
этом удобно ввести число состояний (число различимых
колебательных мод); в области от k до k+dk число состояний
равно (Na/n)dk. При этом число состояний на единицу длины
одномерного кристалла в интервале dk запишется в виде
g{k)dk = (l/n)dk, k < я/а,
g(k)dk = 0, k>n/a. (2.21)
Будем рассматривать g(k) как плотность состояний (на
единицу длины и на единичный интервал k) в пространстве
волновых чисел. Для выбранного нами одномерного случая мы
получили, что g(k) не зависит от k в разрешенном спектральном
интервале. В дальнейшем мы увидим, что для значительной
части других случаев g(k) имеет явную зависимость от k.
Может показаться, что приведенный выше расчет
плотности состояний не совсем правильный из-за принятых нами
допущений о закреплении атомов на концах линейной цепочки
(поскольку такое условие приводит к тому, что существуют
только стоячие, а не бегущие волны). Поэтому рассмотрим
бесконечную линейную цепочку атомов, расположенных на
расстояниях а друг от друга. Пусть в ней распространяются
бегущие волны с тем лишь ограничением, что смещения в
любой разрешенной моде повторяются через расстояние L = Na.
Таким образом, мы имеем ur=uN+r и т. д.9 Моды, которые мо-
9 Эти условия называются периодическими граничными условиями Борна
и Кармана [Bom М., Kdrmdn Th., von.-— Phys. Zeit., 13, 297 (1912)]. Как мы
покажем в последующих главах, искусственность периодических граничных
условий не существенна при рассмотрении колебательных и электронных
спектров кристаллов. Иногда вводят не периодические, а циклические
граничные условия. Их можно представить себе таким образом: цепь из N
атомов замыкается в кольцо, так что Ut^Un+t, поскольку г-й атом
совпадает с N+r-ui. Большинству из нас циклические граничные условия в
трехмерном случае представить себе труднее, чем периодические. Воображение —
это все, что нужно, поскольку введенное число N выпадает из выражения
для плотности состояний на единицу длины или единичный объем кристалла.
2.2. Колебательные моды одноатомной решетки 133
гут распространяться при этих условиях, должны иметь
следующие волновые векторы:
и i 2я 4я бя я /п ооч
я = ± —- , ± -— , ± , . . . или ± — , (2.22)
L L L а
где знаки плюс и минус соответствуют волнам,
распространяющимся в противоположные стороны.
Из сравнения выражений (2.20) и (2.22) с очевидностью
следует, что в случае одномерного кристалла для стоячих или
бегущих волн плотность состояний g(k) на единичный
интервал |к| равна 1/я. Действительно, можно утверждать, что
плотность состояний бесконечной цепочки не зависит от
наложенных граничных условий. Но бесконечная линейная
цепочка атомов — это не то, с чем мы имеем дело в реальности.
Однако полученный нами факт, что граничные условия не
играют существенной роли для линейной цепочки, позволяет
утверждать, что в реальном трехмерном кристалле плотность
состояний как функция волнового вектора, частоты или
энергии не зависит от формы и природы поверхности кристалла,
но лишь при условии, что размеры кристалла значительно
превышают атомные размеры.
В задачах физики твердого тела нередко встречаются
случаи, когда необходимо знать зависимость плотности состояний
не от ky а от каких-то других переменных. (Это касается как
электронов, так и фононов.). Например, во многих случаях
необходимо иметь не только зависимость g{k), но и g(co). Для
линейной одноатомной цепочки, которую мы только что
рассмотрели, можно записать
g(a>) = g (k) (dk/du) = (Un)'m(dkld®). (2.23)
А поскольку
со = 2 (jji/m)1/2 sin (ka/2) = ©m sin (te/2), (2.24)
мы имеем
d(o/dk = (acom/2) cos (ka/2) = (a/2) [ co^—©2]l/2. (2.25)
Подставляя это выражение в (2.23), получаем
g((o) - (2/ла) [io'n—со2]"172 = (1/яуо) [ 1 — (io/com)2J",/2. (2.26)
Таким образом, g(a>) имеет явную зависимость от (о и
действительно обращается в бесконечность на верхнем пределе.
К этому выражению для g(co) мы будем нередко обращаться,
а при рассмотрении квантовой теории теплоемкости в разд. 2.4
мы будем иметь дело с более сложным выражением для g(co).
Мы видели, что разрешенные моды для линейной цепочки
с заданной периодичностью на длине L образуют последова-
134
Гл. 2. Динамика решетки
Рис. 2.6. Распределение разрешенных колебательных состояний в к-простран-
стве, когда периодичность задается длиной L. а — для одноатомной
линейной решетки; б — для трехмерной решетки; показаны состояния лишь в
положительном квадранте плоскости kxky.
тельыость точек в одномерном k-пространстве, расстояние
между которыми равно 2л/Ь. Это представление иллюстрируется
рис. 2.6, а.
Такое же представление можно применить к разрешенным
модам в k-пространстве для трехмерного кристалла. На
рис. 2.6, б в целях удобства изображено всего лишь несколько
разрешенных мод, все остальные смещения разрешенных мод
должны быть периодическими с периодом L вдоль каждой оси
декартовых координат. Из рисунка видно, что в
k-пространстве каждое разрешенное состояние занимает объем (2я/£)3.
Таким образом, поскольку объем шарового слоя радиусом
fe=|k| и толщиной dk с центром в начале координат равен
4nk2dk, число разрешенных колебательных состояний на
единицу объема в интервале dk должно быть равно
g(k)dk--
4nk2dk
k2 '
dk.
(2.27)
L8 (2я//,)3 2яа
Изображенное на рис. 2.6, б распределение мод в
k-пространстве будет простираться до границ зоны Бриллюэна во всех
направлениях.
В случае трехмерного кристалла вывод зависимости g((o)
оказывается значительно более сложным, чем для
одномерного кристалла, хотя совсем нетрудно показать, что в
низкочастотной бездисперсионной области g(a>) может изменяться
как со2 (см. задачу 2.4). Вычисление полного числа мод
является сложной задачей для большинства реальных кристаллов,
но, к счастью, мы можем воспользоваться тем, что любая
совокупность N атомов в трехмерном пространстве в целом
может колебаться 3N различными способами. Разумеется, это
2.2. Колебательные моды одноатомной решетки 135
число 3N равно числу классических степеней свободы у N
атомов.
Две трети из этих 3N мод (т. е. 2N) соответствуют
поперечным волнам и одна треть (N) — продольным. На языке к-про-
странства это означает, что в объеме зоны Бриллюэна,
соответствующей кристаллической структуре, могут разместиться все
продольные моды по одной на каждый атом и, кроме того, все
поперечные моды из расчета по две моды на каждый атом.
Если мы отрежем часть кристалла, то объем зоны Бриллюэна
не изменится, но точки в k-пространстве, соответствующие
различным колебательным состояниям, раздвигаются.
Чтобы обосновать высказанное выше утверждение о том,
что в трехмерном пространстве для N одинаковых атомов
существует N продольных и 2N поперечных мод, рассмотрим
простой кубический кристалл с боковыми ребрами длиной L,
так что N=(L/a)3. В этом случае зона Бриллюэна
представляет собой куб с длиной ребра 2я/а и объемом (2я/а)3.
Поскольку, как это видно из рис. 2.6, б, каждая разрешенная
продольная мода занимает объем (2я/£)3, во всей зоне
помещается, как и ожидалось, N состояний. Заинтересовавшийся
читатель может, хотя и приложив значительно больше усилий,
доказать, что в случае г. ц. к.-решетки (рассмотренной в
задаче 2.3) объем зоны Бриллюэна таков, что в нем помещается
N мод.
Дисперсионные кривые для продольных и поперечных фо-
нонов в кристаллографических направлениях высокой
симметрии (примеры этих кривых приведены на рис. 2.4) могут
дать информацию о наиболее важных атомных силовых
постоянных. Эта информация может быть затем использована для
численного расчета плотности колебательных состояний в
зависимости от частоты. В наш компьютерный век такие расчеты
плотности состояний можно выполнить со значительно более
высокой точностью, чем это было возможно в первых
исследованиях 10. Результаты такого численного расчета для меди
с использованием данных, представленных на рис. 2.4,
иллюстрируются кривой на рис. 2.7; при построении этой кривой
учитывались смещения, обусловленные влиянием всех ближай-
10 В классических работах Блэкмана [Blackman М — Ргос. Roy. Soc,
А148, 365 (1935); А159, 416 (1937)] показано, как g (со) меняется при
изменении оз для моделей со сравнительно простой кристаллической структурой,
если учитывать взаимодействие с ближайшими соседями и атомами во второй
координационной сфере. Расчет g(co) оказался возможным благодаря
использованию как компьютера, так и вычислительной программы, которая
значительно сокращает машинное время [Gilat G., Raubenheimer L. J.— Phys. Rev.,
144, 390 (1966)]. В этой программе используется разбиение зоны Бриллюэна
на кубические ячейки, а поверхности постоянной частоты внутри каждой из
них аппроксимируются набором параллельных плоскостей.
136
Гл. 2. Динамика решетки
^
4S
"&
8?
1
N
£
^
-fi-^ГГ 1 1 1 /1
*&'
£
^
л
■^
£
^
О 1 2 3 4 S
со, Ю* рад/с
Рис. 2.7. Общая плотность
колебательных состояний в меди как
функция частоты со. Кривая построена по
результатам численного анализа
разных ветвей экспериментальных
дисперсионных кривых на рис. 2.4, б.
[Svensson Е. С. et al— Phys. Rev.,
155, 619 (1967).]
о, Ю'3 рад/z
Рис. 2.8. Общая плотность
колебательных состояний в ванадии как
функция частоты со. Кривая,
построенная по результатам исследования
некогерентного рассеяния нейтронов,
заимствована из работы:
Stewart А. Т., Brockhouse В. N.— Rev.
Mod. Phys., 30, 250 (1958). Эта
кривая существенно отличается от
результатов работы Картера и др.
[Carter R. S. et al.— Phys. Rev., 104,
271 (1956)], в которой указывается
на трудности такого рода
экспериментов.
ших атомов до шестой координационной сферы11. Более 75%
колебательных состояний лежат в области частотного спектра,
в которой g(co) не пропорциональна со2.
Для кристаллов, в которых рассеяние медленных нейтронов
происходит преимущественно некогерентно (из-за хаотичности
распределения ядерных спинов), как показали Плачек и Ван
Xoi?12, функцию g(co) можно получить непосредственно,
измеряя некогерентную составляющую рассеяния нейтронов.
Этот способ определения g(co) в особенности интересен в тех
случаях, когда некогерентная компонента рассеяния нейтронов
в кристалле превосходит когерентную, что затрудняет
получение дисперсионных кривых. Найденная таким образом
функция g((u) для ванадия приведена на рис. 2.8.
Острые пики и резкие перегибы имеются у кривых на
рис. 2.7 и 2.8; особенно ярко они выражены на кривой на
рис. 2.7. Значения со, при которых кривые g(co) имеют резкие
11 Svensson Е. С, Brockhouse В. N., Rowe /. М.— Phys. Rev., 155, 619
(1967).
12 Placzek G., Van Hove L.— Phys. Rev., 93, 1207 (1954).
2.3. Колебательный спектр решетки с базисом
137
перегибы, называются критическими точками, или
особенностями Ван Хова13. Этим значениям угловых частот
соответствуют нулевые групповые скорости фононов в некоторых
направлениях, поскольку на границе зоны Бриллюэна
изменяется топология поверхности постоянной со в к-пространстве.
Например, самый большой пик на кривой на рис. 2.7
соответствует максимальной разрешенной частоте продольных
фононов для направления [ПО]; аналогичным образом наклон
кривой g{(o) резко уменьшается при частоте, при которой кривая
дисперсии поперечных фононов совпадает с границей зоны
Бриллюэна для направления [111].
Анализ положения критических точек очень важен при
интерпретации колебательных спектров. Как мы увидим позднее,
сингулярности Ван Хова наблюдаются и в электронных
спектрах кристаллов и тоже очень помогают при определении
структуры энергетических зон.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Число мод, плотность состояний» з дисципліни «Фізика твердого тіла»