Уравнение равновесия j х В = (V х В) х В = Vp может быть преобразовано к виду Y^ —Tik - -^- = 0, F.45) г где Tik = ^(BiBk - l-B28ik) F.46) 4 Миямото К. 98 Гл. 6. Равновесие — тензор магнитного давления. Из соотношения F.45) получаем где п — единичный вектор внешней нормали к замкнутой по- поверхности, ограничивающей объем V. Поскольку = (ткк - то легко получить соотношение, которое называется теоремой вириала: Если плазма находится в ограниченной области, причем р = О снаружи, и, кроме того, ни снаружи, ни внутри нет проводников с током, то на большом расстоянии от плазмы величина маг- магнитного поля будет убывать как ~ 1/г3. Поэтому поверхностный интеграл стремится к нулю, когда поверхность, ограничивающая плазму, стремится к бесконечно большой сфере (г —> оо). Это противоречит тому, что интеграл по объему F.48) — конечная положительная величина. Другими словами, плазма, ограничен- ограниченная конечным объемом, не может находиться в равновесии в от- отсутствие проводников с током. Применим теорему вириала F.48) и F.47) к элементу объема плазмы с осевой симметрией, ограниченного замкнутой поверх- поверхностью тороидальной формы 5t, образованной вращением произ- произвольного контура It. Обозначим единичную нормаль и касатель- касательную контура 1\ через п и 1 соответственно, а элемент поверхности поперечного сечения через dS<p. Элементы объема и поверхности связаны соотношением dV = § 6.7. Теорема вириала 99 Магнитное поле В можно представить как В = В^ + Вр, где Вр — полоидальное поле, В^ — величина тороидального поля, ае^- единичный вектор в направлении (р. Обратим внимание на два соотношения [ га(г • n)dSt = (а + 3) \radV, F.49) [ га(ег • n)dSx = [ V • (raer)dV = [ ^ = (а+1) lr^-lUv = 2n(a+l) \radS^ F.50) где er — единичный вектор в направлении г. Записывая F.48) для полного тора, ограниченного St, получаем F.51) т.к. Вр = В{[ + Впп (см. рис. 6.10, а). Обозначим вакуумное тороидальное поле (в отсутствие плазмы) через Д^о- Оно равно BpQ = //0//Bтгг), где / — полный ток в обмотках, создающих это поле. С использованием F.50) соотношение F.51) сводится [4] к ¦ <6-52) Применив уравнение F.47) к сектору, ограниченному <р = 0, = А(р и St (см. рис. 6.10, б), и взяв его г-составляющую, 100 Гл. 6. Равновесие Рис. 6.10. Области интегрирования при выводе теоремы вириала в уравнениях: а - F.48), б - F.47) получим [4] 2тг р Р + р2 г>2 В1 ~ Бп 2/io У F.53) Подставляя в уравнения F.52) и F.53) данные магнитных зон- зондов, расположенных вокруг плазмы, можно рассчитать параметр бета для полоидального поля F.18) и погонную внутреннюю индуктивность F.23) для случая равновесия осесимметричной тороидальной плазмы с произвольной формой граничной поверх- поверхности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теорема вириала» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
