Рассмотрим более общий случай по сравнению с предыдущим пунктом. Пусть р=р( у ) – убывающая функция, т.е. с увеличением выпуска будет происходить насыщение рынка и цена будет падать. Проведя аналогичные рассуждения, получим уравнение:
y '= kp ( y ) y , (1.3.5) здесь k=la . Уравнение (1.3.5) представляет собой автономное дифференциальное уравнение. Так как k > 0, р > 0, у >0, то из (1.3.5) следует, что y (t) есть возрастающая функция ( у ' > 0). Пусть, например, р( у ) = b – ау ( а,b > 0), тогда уравнение (1.3.5) принимает вид:
60
y '= k ( b-ау ) y . (1.3.6) Разделяя переменные в уравнении (1.3.6), находим
, )( kdt ayby dy = − или
,1 kdt ayb a yb dy =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +
и проинтегрировав это соотношение, имеем ln| у | - ln| b - ау | = kb t + lnC. Отсюда получим, что
. 1 bkt bkt Cae Cbe у + = (1.3.7) График функции (1.3.7) называется логистической кривой. Она также описывает некоторые модели распространения информации (рекламы), динамику эпидемий, процессы размножения бактерий в ограниченной среде обитания и др.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Логистический рост» з дисципліни «Математична економіка»
