Будем вместо канонических переменных использовать ско- скорость и пространственные координаты х\,Х2,хз, ^ь^ мильтониан в новых координатах имеет вид где ± Pi = ,. Га- D.6) Ц = Щ D.7) D.8) 64 Гл. 4. Функция распределения и уравнение Больцмана -qAk) дАк _ дф_ .. dt dxi ~ ^ m g°-- q*- ' К к При этом, уравнение D.5) переходит в OF ,^ 8F , ^ (^_ дАк d<t>\dF _ (SF\ ^ ^п) г=к г=\ \к=\ Переход от независимых переменных (qi,Pi,t) к (xj,Vj,t) дела- делается с использованием D.7), D.8) и соотношений dvj(xk,Pk,t) _ J_ с dpi m lJi dxi т dxi ' dvj(xk,Pk,t) _ q dAj dt m dt Обозначим F(xi,pi,t) = F(xi,pi(xj,Vj,t),t) = f(xj,Vj,t)/m3. То- Тогда m3F(xi,pi,t) = f(xj,Vj(xi,Pi,t),t), и t) i k и i m i г —F(xt) dvi\m) dt ' г Таким образом, выражение D.11) преобразуется к т ) 8t ^ 1^ ик \ дхк 4^ dvi\ т ) дхк к \ г + V . ^ 9Жг / rndVi \ 6t J coll §4.2. Уравнения Больцмана и Власова 65 В силу соотношения Е dxi dxi I mdvi \5t J coll' к / x (v x A))^ = E^^ + (v x B)i' к к имеем + / Щ~^ + / —(E + v x B)i—— — I I • D-12) г г Это уравнение называется уравнением Больцмана. Плотность заряда р и электрический ток j определяются как Р = ^2q\ fdv\dv2dvs, D.13) D.14) Соответственно, уравнения Максвелла выглядят так: D.15) ^ - €0^ + ^g Jv/dv, D.16) 1V х В VxE = -|, D.17) V-B = 0. D.18) В случае разреженной плазмы можно пренебречь интегралом столкновений {Sf/dt)co\\. Однако взаимодействие заряженных ча- частиц, по-прежнему, учитывается через самосогласованные элек- электрические и магнитные поля, которые вычисляются из плотно- плотностей заряда и тока с помощью уравнений Максвелла. Плотности же заряда и тока сами определяются функцией распределения для электронов и ионов. Такое уравнение называется уравнением Больцмана без столкновений или уравнением Власова. Если в качестве оператора, описывающего столкновения, под- подставить интеграл столкновений в форме Фоккера—Планка [ 1 ], 3 Миямото К. 66 Гл. 4. Функция распределения и уравнение Больцмана то полученное уравнение называется уравнением Фоккера— Планка (см. 16.8).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения Больцмана и Власова» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
