Загляните в любой учебник для высшей школы по технической специальности. Наряду с интегральными и дифференциальными выражениями вы непременно увидите математические преобразования, в которых используются ряды Фурье или интегралы Фурье. В математике разработан аппарат Фурье — анализа, ставший одним из наиболее распространенных и эффективных инструментов при описании и исследовании самых различных процессов. Жан Батист Жозеф Фурье (1768 — 1830) родился в семье портного в Ок- сере (Франция). В восемь лет он остался круглым сиротой, но по ходатайству одной знатной дамы был определен в военную школу, находившуюся в управлении монашеским орденом бенедиктинцев. Увлечение математикой пришло с первых уроков. Жану не было достаточно тех знаний, которые давались на уроках математики и он стал заниматься самостоятельно, часто тайно, по ночам. Несмотря на отличные успехи в школе, желание Фурье стать после окончания школы артиллерийским офицером не было удовлетворено из-за неблагородства происхождения. Другим из двух возможных путей, определяемых выпускникам школы бенедиктинцев, была карьера священника. Фурье был определен в аббатство Сент — Бенуа, но пострижение не состоялось. Шел 1789г. Революционные события застали Фурье в 140 1. Классическая механика. Математизация естествознания Париже. Здесь он намеревался серьезно заняться математикой и даже представил в Академию наук записку о решении числовых уравнений всех степеней. Но занятия математикой отошли на второй план. Воодушевленный революционными идеями, Фурье возвращается в родной Оксер и становится членом Народного собрания. Конец революционной деятельности Фурье был печален — он оказался в тюрьме. После освобождения Фурье вновь едет в Париж и преподает математику в различных школах. Его приглашают возглавить кафедру высшей математики во вновь организованной Политехнической школе. Фурье увлеченно Жан Батист Жозеф Фурье работает, его лекции интересны и даже изящны. Жизнь, казалось, вошла в спокойное русло. Но идея египетского похода, план которого в свое время разработал Лейбниц, увлекает Фурье. Он становится одним из самых знаменитых участников «великого похода» Наполеона (1898 — 1901), возглавляет Египетский институт, в который входит сам Бонапарт. Фурье выполняет дипломатические поручения Наполеона, ведет военные переговоры, занимается организационными вопросами. Не оставляет он и математику. После возвращения во Францию Фурье становится префектом департамента в Гренобле, занимается строительством горных дорог, осушением болот, каждодневной административной работой. В эти годы бурные события в Европе будто бы не касались Фурье. Но наступили «Сто дней» Бонапарта (1815 г). Фурье бежит из Гренобля. Наполеон хотя и упрекает его в этом, считая такой поступок предательством, но все же назначает Фурье префектом в Лионе. Окончательное падение Наполеона лишает Фурье всех его чинов. Однако опала длится недолго. Уже в 1817 г. Фурье избирается членом Французской Академии. Начинается последний, наиболее плодотворный в научном отношении период в жизни Фурье. В 1822г. появилась его знаменитая, ставшая классической работа «Аналитическая теория тепла», в которой Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности (закон Фурье) и разработал методы его интегрирования. В этой работе он использовал разложение функций в тригонометрический ряд, названный впоследствии рядом Фурье. С тех пор в математику вошли ряды Фурье и интегральное преобразование Фурье. Остановимся хотя бы коротко на физическом смысле ряда и интегрального преобразования Фурье. Многие физические процессы в природе имеют периодический характер. Это прежде всего волновые процессы, такие как световые волны, радиосигналы, акустические волны. Эти процессы представляются периодическими функциями, например, в виде зависимости напряжения электрического сигнала от времени. Сама функция может иметь сложный вид, но ее можно представить при определенных условиях суммой синусоид — гармоничес- 141 Раздел II. Основные направления классической науки Пер поди ч ее кал функции Рис. 2.1. Толкование ряда Фурье ких колебаний, или, как еще говорят, гармоник (см. рис. 2.1). Совокупность гармоник называют спектром периодического сигнала. Вспомним, что впервые понятие «спектр» появилось в связи с разложением солнечного света на цвета. Но если учесть, что каждый цвет представляет собой электромагнитные колебания с определенной частотой, то становится очевидной аналогия между этими спектрами. Спектр периодического процесса находится разложением периодической функции в ряд Фурье. Каждый член этого ряда является синусоидой, гармоникой, и в сумме эти синусоиды дают исходную периодическую функцию. Фурье показал, как математически разложить исходную функцию в ряд, то есть нашел формулы, по которым в общем виде можно вычислить амплитуду, частоту и фазу каждой гармоники. Зачем же представлять функции рядом Фурье? Вот лишь одна из многих важных причин. Из разложения в ряд Фурье ясно, какая или какие гармоники вносят наибольший вклад в мощность процесса, каковы параметры этих гармоник. Ряд состоит в общем случае из бесконечного числа гармоник, а разложение показывает, какими гармониками можно пренебречь, учитывая ограниченное их число, а может быть только одну. Описать гармонику математически просто — это синусоида, а сложную периодическую функцию описать бывает значительно сложнее. Волновой характер имеют, как оказалось, не только физические, но и социальные процессы. Русский советский ученый Александр Леонидович Чижевский связал социальную активность с периодичностью солнечной активности, цикличностью самой природы и человека. Он писал: «Если бы мы попытались графически представить картину многообразия этой цикличности, то получили бы ряд синусоид, накладывающихся одна на другую или пересекающихся одна с другой.... В этом бесконечном числе разной величи- 142 1. Классическая механика. Математизация естествознания S(x) - плотность почернения объектив микроскоп когерентное ill пченче дифракционная фотопластинка Кар"""Ш Рис 2 2 Преобразование Фурье, осуществляемое оптической системой ны подъемов и спусков складывается биение общемирового пульса, великая динамика природы, различные части которой созвучно резонирует одна с другой». По сути дела, это толкование разложения в ряд Фурье того самого «мирового пульса», о котором пишет ученый. Математический аппарат Фурье-анализа распространен и на непериодические процессы. С помощью интегрального преобразования Фурье можно найти распределение энергии непериодического процесса по частоте, то есть спектр. В отличие от спектра периодического процесса, где гармоники имеют дискретные частоты, спектр непериодического процесса оказывается непрерывно зависящим от частоты (или длины волны). В этом отношении спектр непериодического процесса имеет еще большее сходство со спектром света, в котором цвета непрерывно переходят один в другой. Получение спектра непериодического процесса очень наглядно и просто реализуется в оптике. Допустим, непериодический процесс, представляемый некоторой функцией S(x), например линейно возрастающей, записан на фотопластинке, плотность которой изменяется по такому же закону (см. рис. 2.2). Фотопластинка помещена в переднюю фокальную плоскость объектива. При освещении фотопластинки когерентным излучением на окне, в котором записана изменяющаяся плотность, возникает дифракция. Объектив строит изображение дифракционной картины в задней фокальной плоскости. Оказывается, что эта дифракционная картина представляет спектр функции S (х), то есть распределение энергии в процессе, описываемом функцией S (х) (в нашем примере это линейная функция), по часто- 143 Раздел II. Основные направления классической науки там. Окно в пластинке должно быть достаточно малым, чтобы возникала заметная дифракция. Дифракционная картинка наблюдается в микроскоп. Функция, описывающая дифракционную картинку и соответственно спектр процесса, находится интегральным преобразованием Фурье. Преобразование Фурье дает представление о двух сторонах одной и той же сущности и в этом смысле имеет определенное философское значение. Единый физический процесс, например изменение солнечной активности, может быть выражен математически двумя способами: в виде функции изменения процесса во времени и в виде функции изменения (распределения) процесса по частотам. Любые изменения процесса адекватно отразятся и в той, и в другой области — и во временной, и в спектральной (частотной). По существующей гипотезе вся информация о Вселенной записана в так называемом информационном поле. Эта информация организована не посредством параметров пространства и времени (в нашем примере как функция S(x)), а в виде преобразования Фурье этой пространственно-временной функции, то есть в форме спектра. Человеческое сознание, если оно проникает в информационное поле, производит обратное преобразование Фурье, чтобы представить информацию в привычной форме. На этом принципе основана голографическая модель информационного поля Вселенной, на которой мы остановимся в последнем разделе книги.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Преобразование Фурье» з дисципліни «Історія науки»
