Для исследования особенностей распространения упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах нужно рассмотреть решения связанной системы уравнений эластодинамики и уравнений электростатики. Пользуясь уравнениями электростатики вместо уравнений электродинамики, мы, конечно, допускаем ошибку; она по порядку величины равна квадрату отношения скорости звука в кристалле к скорости света, т. е. совершенно ничтожна. Система, которую предстоит решить, такова: Diver = рй, F2.1) div/> = 0. F2.2) Уравнениям же rot Е = 0 и Ink e = 0 можно удовлетворить тождественно, если тензор напряжений а и вектор электрической индукции D выразить через потенциал ф и вектор смещения и. Для этого нужно воспользоваться матрицей такого термодинамического потенциала, который является функцией вектора напряженности электрического поля Е = — grad ср, тензора деформаций е = Def и и, наконец, энтропии S, потому что распространение упругих волн — процесс адиабатический. Таков термодинамический потенциал Нвл = = U — E-D, подробно рассмотренный в предыдущем параграфе. Выведенные там формулы F1.13) удобно представить в виде *) D, =-*<£•*>-^ + 4^-^, F2.3) £№%;. F2.4) Здесь тензор е = Def и заменен тензором ди/дг, потому что при умножении на симметричные по двум последним индексам тензоры сие оба дают одинаковые результаты. Компоненты eiki тензора е связаны с коэффициентами eiVi соотношениями (см. приложение Е) е^ = еш (kl++\i=l, ..., 6). Подставив выражения F2.4) и F2.3) в уравнения F2.1) и F2.2) соответственно, получим систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно функций *) В последующих формулах вместо к^>8) ис/Д) будем писать Kik и §621 УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ 411 щ (г, 0 и ф (г, i): д*ик d2<p &U) ^*3"' ( ' = 0- F2'6) Использовав обозначения § 56 и обозначив А% амплитуду потенциала, запишем плоские волны смещений и потенциала, жестко связанные между собой: и = Ар ехр [Bш* А) (т • г — vt)], Ф = А1 ехр [Bш /X) {mr — vt)\ Подставив их в уравнения F2.5) и F2.6), получим F2.7) (Ь2.8) где введены обозначения MJk = еттгть М = т • с - т\ gk = elkimitnh g=m-e-m\ К = Х///П/Ш/, /С = m • х • m. Таким образом, наряду с тензором Кристоффеля М (см. § 56) здесь вводятся аналогичные ему вектор g и скаляр /С. Из F2.8) найдем l gP gP и, подставив это в F2.7), получим ( 4%y . F2.9) Эту систему уравнений естественно назвать уравнениями Кристоффеля для пьезоэлектрического кристалла. Таким образом, все изменение по сравнению со случаем упругих волн в непьезоэлектрическом кристалле свелось к замене обычного тензора Кристоффеля М тензором М + Dя//С) gg. Рассмотрим, например, распространение упругих волн в кристалле класса 2 вдоль оси второго порядка Х2. Расчет компонент тензора М очень облегчается тем, что в данном случае Mjk= c2jk2- Отсюда (см. табл. Д. 18) Компоненты же вектора g в данном случае равны gj = е2у2. Согласно табл, Д,11 412 ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. VII Наконец, К = Игг* Уравнения Кристоффеля F2.9) принимают вид | 2/х22) р2 = ру%, Из них ясно, что в данном случае изменяется лишь скорость продольных волн, которая оказывается равной /1 7 где у0 — скорость, вычисленная без учета пьезоэлектрического эффекта. Отношение 4ле|2/(х22с22) играет здесь роль квадрата коэффициента электромеханической связи. В качестве второго, несколько более сложного примера рассмотрим распространение упругих волн в кристалле класса т в направлении нормали к плоскости симметрии; это опять ось Х2. Тензор М и скаляр /С вычислены уже в предыдущем примере. Компоненты вектора g по-прежнему равны gj = еа</2» но теперь ю табл. Д. 11 находим # = **. £2 = 0, ^3 = ^24- Поэтому уравнения Кристоффеля принимают вид Ясно, что в этом случае пьезоэлектрическая поправка к скорости продольных волн равна нулю, но изменяются скорости и направления поляризации поперечных волн. Недавно показано, что в нецентросимметричных кристаллах влияние электрического поля может приводить как к линейным, так и к нелинейным изменениям фазовых скоростей упругих волн (Блистанов, Петраков, Шаскольская и др., 1977).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Упругие волны в пьезоэлектрических кристаллах» з дисципліни «Основи кристалофізики»
