Простыми напряженными состояниями мы будем считать такие напряженные состояния, при которых тензор напряжений а линейно зависит от декартовых координат а = А + В г, ои = А„ + BifkxkJ E3.1) где Аи В — не зависящие от координат тензоры: А — симметричный тензор второго ранга, В — тензор третьего ранга, симметричный по первым двум индексам. Справедлива следующая теорема. Теорема о простых напряженных состояниях. Если в изотропном теле под действием некоторых усилий, приложенных к его поверхности, возникает какое-либо простое напряженное состояние, то в однородном анизотропном теле той же формы под действием тех же усилий возникает то же напряженное состояние. Доказательство основано на теореме о единственности решения уравнений теории упругости. Действительно, в уравнения Бельт- рами-Митчелла (см. § 51) входят только вторые производные тензора напряжений, которые при простом напряженном состоянии все равны нулю, так что эти уравнения удовлетворяются тождественно. В уравнения же упругого равновесия Коши (см. § 50) вообще не входят никакие характеристики материала, так что от замены одного тела другим (той же формы и при тех же граничных условиях) эти уравнения не изменятся. Таким образом, одно и то же простое напряженное состояние оказывается решением уравнений теории упругости в напряжениях для всевозможных однородных (это существенно!) упругих тел. В силу теоремы о единственности ни для какого из этих тел никакого другого решения существовать не может. В этом и следующем параграфах будут рассмотрены некоторые практически важные примеры применения доказанной теоремы. Начнем со случаев, когда поле напряжений однородно, т. е. тензор напряжений не зависит от координат. Уравнения Коши 11* 324 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ (ГЛ VI удовлетворяются при этом тождественно, поэтому достаточно проверить только выполнение граничных условий. Всестороннее сжатие. Если на упругое тело действует гидростатическое давление /?, граничные условия таковы: <гя =— рп, oiffif = — рщ\ E3.2) п — единичный вектор внешней нормали к поверхности. (В случае всестороннего растяжения силой рп на единицу поверхности знак меняется на обратный.) Очевидное решение а = — pi, Oij = — p8if удовлетворяет всем уравнениям и граничным условиям. Таким образом, напряженное состояние совершенно не зависит от упругих характеристик тела. Деформация же е = —ps:I, ei7 = —ps//fe* E3.4) от них существенно зависит. Симметричный тензор второго ранга Si/ ~ Sijbk называется тензором коэффициентов сжимаемости. С его помощью деформация под действием гидростатического давления записывается в виде г1, = — 8цр, eK = — SKp. E3.5) Формулы, выражающие компоненты Sif тензора S через коэффициенты упругой податливости s^ для всех кристаллографических классов, приведены в табл. 53.1. Из нее видно, между прочим, что влияние симметрии кристаллов на их деформацию при гидростатическом сжатии таково же, как и на все другие их свойства, описываемые симметричными тензорами второго ранга (диэлектрическая проницаемость, тепловое расширение и т. п.). Относительное изменение объема под действием гидростатического давления AV/V = га = —Sitp характеризуется скаляром К'1 = Su = Stikk — коэффициентом всестороннего растяжения. Обратная ему величина К называется модулем всестороннего растяжения. Изменение формы анизотропных упругих тел под действием гидростатического давления характеризуется девиатором деформаций etj = —Rqp, пропорциональным девиатору тензора коэффициентов сжимаемости: Rtl^Sn-^K-^i/. E3.6)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Простые напряженные состояния» з дисципліни «Основи кристалофізики»
