ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Основи кристалофізики

Симметрия упругих свойств кристаллов
В § 51 введены материальные тензоры s, с, а и Р,
характеризующие упругие свойства, тепловое расширение и термоупругость
кристаллов. Тензоры а и Р — симметричные тензоры второго
ранга; влияние симметрии кристаллов на свойства, описываемые
такими тензорами, подробно рассмотрено в гл. III. На рис. 24.1,
24.2, 24.3 показаны указательные поверхности теплового
расширения некоторых кристаллов. В отличие от тензоров
диэлектрической проницаемости, тепло- и электропроводности, тензор
теплового расширения может иметь и отрицательные собственные
значения. Поэтому указательные поверхности теплового расширения
некоторых кристаллов, например кальцита и этилендиаминтартрата
(ср. рис. 24.3 и 52.1), — черно-белые **), какими никогда не
бывают указательные поверхности рассмотренных ранее
материальных тензоров. Черные участки указательной поверхности
соответствуют тем направлениям в кристалле, в которых линейные размеры
при повышении температуры не увеличиваются, как обычно, а
уменьшаются. Конус направлений, в которых тепловое расширение
равно нулю, определяется уравнением сс/у^7/ = 0 относительно
компонент единичного вектора q. Например, у кальцита этот вектор
составляет угол 64°43' с главной осью симметрии Х3. Геометрию
*) Доказательство см., например, Лейбензон A947, § 118) или Новожилов
A958, гл. V, § 18).
**) На этом и последующих рисунках положительные «черные» и
отрицательные «белые» участки поверхностей отмечены соответственно знаками плюс и минус.
318
УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
[ГЛ. VI
0° -10° -20° -Ж -W
теплового расширения кристаллов подробно рассмотрел А. В.
Шубников A956).
Общий вид тензоров коэффициентов упругости и упругой
податливости, инвариантных относительно всевозможных
кристаллографических и предельных
групп, приведен в табл. Д. 18.
Однако из того, что общий
вид этих тензоров в
некоторых классах различен, еще не
следует, что различна и
симметрия упругих свойств
соответствующих кристаллов. Так,
из табл. Д. 18 и 47.1 видно,
что число независимых
инвариантов у тензора упругих
свойств в обеих подсистемах
тетрагональной системы
одинаково. Разное же число
независимых компонент и
различный вид тензоров в высшей и
низшей подсистемах может
объясняться просто тем, что
направления базисных
векторов ех и е2 в низших
подсистемах средней категории
не определяются элементами
симметрии кристалла. Поэтому для низшей подсистемы введем
наряду с кристаллофизическим базисом еъ e2t е3 базис
е\ = ex cos ф + е2 sin ф,
е'ъ = — ег sin ф + е2 cos ф,
т° 150° wo0 i70°mo-i7oo-wo°
Рис. 52.1. Тепловое расширение кристалла
этилендиаминтартрата, класс 2, в плоскости
^1-^2 (это не сечение указательной
поверхности). (Мэзон, 1952.)
E2.1)
е'ъ = е3,
выбрав угол ф так, чтобы компонента sj6 тензора
обратилась в нуль:
; ^P 0
в этом базисе
E2.2)
Подставив в уравнение E2.2) элементы матрицы РХ'Л» описывающей
поворот вокруг оси Х3 (см. формулу (Е.26)), и компоненты тензора
для низшей подсистемы тетрагональной системы (см. табл. Д. 18),
найдем
V E2'3)
Угол ф можно найти и из условия обращения в нуль компоненты
с'к тензора с^. Так, получим
§ 52] СИММЕТРИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ 319
Итак, в базисе E2.1), где угол ф определяется условием E2.3)
или E2.4), тензоры s и с для низшей подсистемы тетрагональной
системы принимают такой же вид, какой имеют в кристаллофизи-
ческом базисе эти тензоры для высшей подсистемы той же системы.
Отсюда следует, что все кристаллы тетрагональной системы
составляют один класс упругой симметрии 4/mmm. Рис. 54.3—54.5
показывают, что указательные поверхности упругих свойств кристаллов
обеих подсистем тетрагональной системы действительно имеют одну
и ту же симметрию 4/mmm.
Обе подсистемы тригональной системы также составляют один
класс упругой симметрии Зт. Базис E2.1) для низшей подсистемы
тригональной системы определяется условием
^-■£-£• E2-5)
Хотя общий вид тензоров упругих свойств был установлен еще
в XIX веке, то обстоятельство, что классы упругой симметрии
Ът и 4/mmm совпадают с тригональной и тетрагональной системами,
было замечено сравнительно недавно.
Тензоры с и s, как и любые другие (см., например, § 83), можно
разложить на неприводимые части. Эти неприводимые части
выражаются через введенные в § 47 неприводимые тензоры с помощью
изотропных тензоров Кронекера и Леви-Чивита. Разложение
тензоров с и s проведем в два этапа. На первом этапе выделим из них
симметричные по всем индексам части d4* и sD); оставшиеся части
с<22> и s<22>, обладая внутренней симметрией [[V2]2] (см. §42),
обращаются в нуль при симметрировании по всем индексам. Итак,
первый этап разложения:
s = SU> + S{«>, si*> = W si$>> = siikl - svm E2.6)
(формулы для с совершенно аналогичны). Пользуясь методами
теории представлений групп, можно показать, что s<4> разлагается
на скалярную, девиаторную и нонорную части, a s<22> — на
скалярную и девиаторную части. Внутренняя симметрия тензоров s<4>
и s<22> однозначно (с точностью до численных коэффициентов)
определяет вид разложений на втором этапе *):
E2.7)
sflg/-/wF,A* - «(/А/)) + [т (Plr%i+DlF%,)-D^6kl]. E2.8)
*) Первый этап состоит в разложении тензоров си s на части,
преобразующиеся по неприводимым представлениям группы всевозможных линейных
преобразований трехмерного пространства GL C); здесь {4} и {22}—обозначения
соответствующих неприводимых представлений. На втором этапе каждая из них в свою
очередь разлагается на части, преобразующиеся по неприводимым представлениям
Di ортогональной группы оо ро т или 0C), — они и названы здесь
неприводимыми частями. Подробнее об этом см. Сиротин A974); там же
приведены формулы разложения на неприводимые части других материальных тензоров,
320 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ V!
Свертывая правые и левые части этих равенств, легко найдем,
как выражаются неприводимые тензоры Л4>, D<4>, ..., D<22> через
тензоры s<4> и s<22>:
sift, -
= 3Sj$ -4/<M V
Для кристаллов тех классов, у которых неприводимые девиа-
торы и ноноры кратны единичным, т. е. D\f} = Sd}D|/), D//2> =
==Si?a>Z?f/) и т. д. (см. табл. 47.4), эти разложения существенно
упрощаются и принимают вид
у E2.9)
Здесь коэффициенты S/4}^/{4} и s{22} = /<22} введены для
единообразия записи. Разложения E2.7) и E2.8) объединены, но с
помощью индексов {4} и {22} при коэффициентах S легко разделяются.
Согласно теореме Германа (см. § 46) кристаллы гексагональной
системы трансверсально изотропны по упругим свойствам,
составляя вместе с текстурами класс упругой симметрии оо/тт. Все
направления, составляющие с главной осью симметрии один и тот
же угол, по упругим свойствам одинаковы, хотя у гексагональных
кристаллов эти направления, конечно, кристаллографически
различны. Это один из многих случаев, когда симметрия свойства
кристалла выше симметрии самого кристалла.
У кристаллов гексагональной системы и текстур девиаторы
и ноноры кратны единичным, причем единичные девиатор й нонор
определяются формулами
4 E2.10)
| A;) E2.11)
где k — единичный вектор главной оси симметрии; в кристалло-
физической системе координат kt = б/3, а формулы E2.10) и E2.11)
переходят в формулы для D0 [оо/тт] и N° [оо/тт] из табл. 47.4.
§ 52] СИММЕТРИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ 321
Для этих кристаллов коэффициенты разложения E2.9) равны
S\i} =1j(8sii + 3«» + 4s1, + 2s44),
S jM"> = i- (_ Sll + 3s12'+4s18 - s^),
SlDi} =^-(-8su + 6s33 + 2sls + s44), E2.12)
Sn = -35- (su + s33 — 2s13 — S44).
Тензор с разлагается тем же способом. В формуле E2.9) в
применении к тензору с коэффициенты естественно обозначить CLJ, ...
..., С{/2>- Эти коэффициенты подсчитываются по формулам E2.12),
где вместо sn, ..., s13 подставляются с1Ъ ..., с13, но вместо s44 следует
подставлять 4с44.
Если бы коэффициенты Cb4>, CL22} и C{Ni] или Si>4\ Sb22) nSJl4>
обратились в нуль, тензоры коэффициентов упругости и
коэффициентов упругой податливости оказались бы изотропными
тензорами. Отсюда ясно, что эти наборы коэффициентов характеризуют
анизотропию трансверсально-изотропных по упругим свойствам
тел. Нетрудно убедиться, что обращение в нуль всех коэффициентов
одного набора влечет за собой обращение в нуль и всех
коэффициентов второго набора. С другой стороны, коэффициенты С/22}
и С|>22} и соответственно S/22} и S|f2} характеризуют
несимметричность тензоров с и s по индексам: если бы они обратились в нуль,
внутренняя симметрия тензоров с и s была бы [К4].
Кристаллы кубической системы отличаются по симметрии
упругих свойств от изотропных тел, составляя класс упругой симметрии
тЗт. Ноноры для них кратны единичному, а девиаторы обращаются
в нуль (см. табл. 47.1). Поэтому разложение E2.9) для кубических
кристаллов еще упрощается и принимает вид
= | (Si*> + 2SJ22>) a,A, +1 EL} - S}22>) («**
E2.13)
Единичный нонор кубической симметрии (его следовало бы
обозначать № [тЗ/n], чтобы отличить от введенного выше № [оо/mm]),
в согласии с § 47, имеет в кристаллофизической системе координат
компоненты
II при четырех равных индексах,
—1/2 при двух парах равных индексов, E2.14)
О в остальных случаях.
"A Ю. И. Сиротин. М. П. Шаскольскзя
322 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ VI
Коэффициенты разложения E2.13) подсчитываются по формулам
E2.15)
Тензор коэффициентов упругости также определяется формулой
E2.13), где место коэффициентов 5 занимают коэффициенты С;
последние подсчитываются по формулам E2.15), в которые вместо
sn, s12 и s44 подставляются соответственно сп, с12 и 4с44.
Несимметричность тензоров с и s по индексам характеризуется
соответственно коэффициентами С/22} и S}2'2}. Упругая анизотропия
кубических кристаллов определяется коэффициентами CJvJ и Sjv\
причем из равенства нулю одного из них следует равенство нулю
другого. Поскольку упругие постоянные существенно зависят от
температуры, коэффициенты упругой анизотропии тоже зависят
от температуры. Так, у каменной соли по мере повышения
температуры упругая анизотропия уменьшается вплоть до температуры
690 К, при которой кристалл становится упруго-изотропным,
а при дальнейшем повышении температуры знак упругой
анизотропии (т. е. коэффициентов Cif} и Sif}) меняется. Степень упругой
анизотропии измеряется безразмерным отношением
Л = -^=2E"-%)> E2.16)
Си—С12 $44 Х '
которое характеризует зависимость сопротивления кубического
кристалла сдвиговой деформации от направления (ср. табл. 53.3).
У изотропных и гиротропных тел тензоры коэффициентов
упругости и упругой податливости изотропны:
= 1 (S}4} + 25{22}) 6if8kl +1 (Sj4} - SJM)) Fufifl + 6ifi,k), E2.17)
S\i]=slv S}22}=|(Sll-3s12); E2.18)
аналогичные формулы справедливы для тензора с. Для изотропных
тел из формул E1.11) следуют соотношения *)
(Си - *ia) (sn - s12) = (сп + 2с12) (sn + 2s12) = cusu = 1, E2.19)
а из формулы E2.16)— соотношения
Си - с12 = 2cAV 2 (sn - sl2) = su. E2.20)
*) Формулы E2.19) справедливы и для кристаллов кубической системы.
§ 53] ПРОСТЫЕ НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ 323
Для характеристики упругих свойств изотропных тел наряду с
коэффициентами упругости и упругой податливости пользуются
также модулем Юнга Е = l/sn, коэффициентом Пуассона v =
= —s12/sn, модулем объемного сжатия К = (сп + 2с12)/3, модулем
сдвига G = (сп — с12)/2 = l/s44 и коэффициентами Ламе X = с12
и |ы = G. Два независимых коэффициента полностью характеризуют
упругие свойства изотропного материала. Вообще об упругих
свойствах кристаллов см. Александров и Рыжова A961); Musgrave
A970); Auld A973); Dieulesaint, Royer A974); Krishnan A958);
Krishnan, Radha, Gopal A971).

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Симметрия упругих свойств кристаллов» з дисципліни «Основи кристалофізики»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: ФОРМИ ГРОШЕЙ ТА ЇХ ЕВОЛЮЦІЯ
Где центр тяжести летящей ракеты?
Что же такое 3G… 4G… и кто больше?
Технологічний процес виготовлення ДСП
Аудит резервного капіталу


Категорія: Основи кристалофізики | Додав: koljan (10.12.2013)
Переглядів: 892 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП