Наряду с тензорами второго ранга в кристаллофизике применяются также тензоры третьего, четвертого и еще более высоких рангов. Они вводятся теми же способами, что и тензоры второго ранга. Пусть, например, компоненты вектора Р линейно зависят от компонент тензора второго ранга а: Pi = dlmnomn\ D1.1) dimn — коэффициенты линейной зависимости. Вектор Р и тензор а можно, однако, отнести и к другой, «новой» системе координат. Если || Ci'i || — матрица перехода от «старой» системы координат к новой, то компоненты вектора Р в новой системе координат равны Pf =ci>iPi = ci>idlmn(jrnn. D1.2) Выразим значения компонент отп тензора а в старой системе координат через их значения Ofk' в новой системе: Ощп = Cj'mCk'nOj'k'. D1.3) Подставив отп в формулу D1.2), получим Pi' = CindtmnCj'mCk'nOj'k'. D1.4) Если в старой системе координат линейная зависимость компонент вектора Р от компонент тензора а определялась набором коэффициентов йШП1 в новой системе та же зависимость определяется коэффициентами dw = Ci>icrmck'ndlmn. D1.5) Так же выводится и формула для изменения коэффициентов &Шп при переходе от новой системы к старой: dimn = Ci'lCj'mCk'ndi'j'k'. D1.6) Законы преобразования D1.5) и D1.6) такие же, как и для 248 симметрия тензоров высших рангов [гл v произведений компонент трех векторов. Таким образом, мы имеем дело с некоторой геометрической, т. е. существующей независимо от систем координат, величиной d, которая в каждой системе координат характеризуется набором чисел dlmn; при переходе от одной системы координат к другой эти числа преобразуются как произведения компонент трех векторов. Такая величина называется тензором третьего ранга, а числа dlmn и dt>]>k> — компонентами этого тензора в старой и новой системах координат соответственно. К тензору третьего ранга можно прийти и другим способом — рассматривая линейную зависимость компонент тензора второго ранга £ от компонент вектора Е: Zij = riJkEk; D1.7) коэффициенты rtjk тоже оказываются компонентами тензора третьего ранга г. Те же способы позволяют ввести и тензоры четвертого, пятого и еще более высоких рангов. Например, коэффициенты sijkh определяющие линейную зависимость компонент etJ тензора е от компонент akt тензора а: bij = SiJklofch D1.8) — компоненты тензора s четвертого ранга; коэффициенты QiJkim, определяющие линейную зависимость компонент stjM тензора четвертого ранга s от компонент Ет вектора Е: Sljkl = QljklmEm, D1.9) — компоненты тензора пятого ранга Q. Можно сформулировать общее правило: коэффициенты линейной зависимости компонент тензора ранга гот произведений компонент тензоров рангов гъ ..., rk сами являются компонентами тензора, ранг которого равен г + + г, + ... +/*. Другой процесс, в результате которого образуются тензоры — дифференцирование тензоров по тензорам. Пусть, например, компоненты вектора Р — функции компонент тензора а. Введем обозначение частных производных £p dlmn, D1.10) а соответствующие частные производные в новой системе координат обозначим дР,, ■zfc-drr*. D1.11) § 411 ТЕНЗОРЫ И ПСЕВДОТЕНЗОРЫ ВЫСШИХ РАНГОВ 249 Как легко показать *), что dimn] D1.12) это означает, что d/mn — компоненты тензора третьего ранга. Аналогично рассматривается и дифференцирование тензора по нескольким тензорам. В результате приходим к следующему общему правилу: частные производные компонент тензора ранга г по компонентам тензоров рангов гъ ..., rk сами являются компонентами тензора, ранг которого равен г + гг + ... + rk. Тензоры высших рангов также можно записать в бескоординатном виде с помощью базисных векторов, например, d = dlmnelemen. D1.13) Переход к новому базису, т. е. замена векторов et их линейными комбинациями ее = c^ei (где векторы ei>> как и векторы eh орто- нормированы), как легко подсчитать, приводит к тому, что тот же тензор принимает вид d = dr j>k'ec>ej'ek't di>j>k> = cc>iCj>mCk'ndimn D1.14) в полном согласии с формулами D1.5) и D1.12). Перечислим правила действий над тензорами.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тензоры и псевдотензоры высших рангов» з дисципліни «Основи кристалофізики»
