В общем случае трехмерной модели будем рассматривать решетку с элементарными трансляциями a1, a2, a3, в элементарной ячейке которой находятся S атомов. Размер кристалла в направлении трансляций a1, a2, и a3 будет составлять N=N1N2N3 трансляций, так что объем кристалла будет равен V=N(a1[a2,a3]). Положение каждого атома в кристалле можно задать с помощью вектора rln
rln=rn+rl; rn= a1n1+a2n2+a3n3
Вектор rn указывает на данную (n=n1,n2,n3) элементарную ячейку, а вектор rl на конкретный атом l массы ml в этой ячейке. Смещение атома с номером n будем обозначать величиной Uln(, (=x,y,z. Полное число степеней свободы системы равно 3Ns. Используя разложение потенциальной энергии кристалла по степеням смещений и пренебрегая ангармоническими членами, легко написать уравнения движения.
, можно написать уравнение движения для каждого из Ns атомов. Такая система связанных уравнений будет состоять из 3Ns уравнений: , Решение этой системы дифференциальных уравнений ищется в виде функций Блоха:
.
Подстановка такого решения в систему 3sN дифференциальных уравнений дает 3s алгебраических уравнений для отыскания амплитуд Al( : .
Можно ввести матрицу силовых постоянных
,
так что для неизвестных амплитуд система алгебраических уравнений будет выглядеть так:
.
Приравнивание к нулю определителя этой однородной системы приводит к характеристическому (или вековому) уравнению степени 3s относительно (2. Решение его дает дисперсионную связь между частотой ( и волновым вектором k волны. Поскольку должно быть 3s корней, то существует 3s зависимостей вида (j(k), которые называются ветвями. Частоты ( трех ветвей при k(0 стремятся к нулю – эти ветви называются акустическими. Остальные 3s –3 ветви – оптические ветви.
Подставляя 3s корней (j(k) в систему однородных алгебраических уравнений для амплитуд получим с точностью до постоянного множителя 3s различных решений для амплитуд Al((k).
Матрица эрмитова, так что все корни векового уравнения вещественны (и положительны). Кроме того, т.к. , то вековoе уравнение инвариантно относительно замены k вектором –k, т.е. (j(k)=(j(–k) и Al((k)=A*l((–k).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «КОЛЕБАНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКИ» з дисципліни «Фізика кристалів»
