Винтовые МГД неустойчивости в токамаке (кинк-моды) важ- важны, главным образом, потому, что они дают предел по бета [7, 8]. В отсутствие проводящей стенки, согласно результатам рабо- работы [7], полученным для широкого класса профилей тока и дав- давления, этот предел составляет /3/Aр/аВ) = /?n < 2,8 (см. A6.9)). При больших значениях /?n внешняя винтовая мода может быть стабилизирована за счет близко расположенной проводя- проводящей стенки (кожуха). В случае, когда идеальная МГД неустой- неустойчивость стабилизирована присутствием идеально проводящей стенки, но дестабилизируется, если стенку удалить, ситуация осложняется наличием у стенки конечной резистивности. В этом случае развивается мода, нарастающая за резистивное время стенки. Существует интересный вопрос, стабилизируется ли эта резистивная мода вращением плазмы или нет. 16.10а. Инкремент моды резистивного кожуха Основные уравнения движения в плоской модели были выпи- выписаны в гл.9, см. (9.9) и (9.13): х = t(k • B)VBlx - t(k • B)"Blx. § 16.10. Моды резистивного кожуха 325 В цилиндрических координатах соответствующие уравнения имеют вид О (rBlr)=iF(rSr), A6.82) A6.83) где Вводя ^-компоненту векторного потенциала, потоковую функцию ф = Az(r, 9) — Az® ехр(-тв), имеем Blr = 1- г or При этом A6.83) сводится к -. A6.83') Для анализа, прежде всего, воспользуемся ступенчатой моделью, показанной на рис. 16.25, т. е. j® — jo, p® = ро, q® = q, при г < a, и j® = 0, p® = 0, q® = q® при г < а. Тогда из A6.830 имеем Ф q® p® a d Рис. 16.25. Вверху: профили плотности массы р(г), плотности тока j® и про- профиль q®. Радиус плазмы г — а, стенка располагается при г — d. Внизу: профиль потоковой функции tp® в случае проводящей стенки !) В этом разделе автор называет инкрементом величину 7 = —iw- — При- Примеч. ред. П. Миямото К. 326 Гл. 16. Токамак при г < а -о. а при г > а Если при г = d расположена проводящая стенка, должно выпол- выполняться условие ij)(d) = 0, и а = (a/dJm. Тогда тр'(а+) _ mil (a/dJm ф{а) ~ a l-(a/dJm' A6.83'") На границе плазмы A6.83') дает - 1 /a2 Bl(nq-mf/a 1р'(а-) _ т Fa a (nq — т)' A6.84) поскольку для плоского профиля тока [j,qJo = 2В$/а. Инкремент 7с (d) МГД возмущения в присутствии при г = d проводящей стенки сводится к (см. A6.83", 16.83'") и A6.84)) = -2(щ - т) A6-85) Область устойчивости на плоскости параметров d/a и q показана на рис. 16.26. d2m а 1 Устойчиво -Неустойчиво — 1 0 nq — m Рис. 16.26. Область устойчивости в зависимости от (nq — т) и d/a Когда вместо идеально проводящего кожуха при г = d распо- расположена стенка резистивная, внешнее решение для ф модифици- модифицируется и дается выражениями (см. рис. 16.27) § 16.10. Моды резистивного кожуха 327 ad r Рис. 16.27. Профиль ф(г) в случае, когда при г = d находится резистивная стенка )-m iP®=iP(d)(r/d)- = j^^ ((r/d)-m - ares(r/d)m) (d>r> a). A6.86) l — ares Обозначая ток в стенке и удельное сопротивление стенки как jw и ryw, имеем следующие соотношения: 7 Л/, Разрыв логарифмической производной при т — d составляет rw = d 9 где 6W — толщина стенки, откуда получаем _ га 7res^w ~~7 d~' Таким образом, ares в A6.86) равно = 7resTw/Bm) reS l+7resrw/Bra)* Для ф1(а+)/ф{а) из A6.84) имеем .2 А0 а у (nq-mJ {nq-m) С другой стороны, из A6.86) получается /7 I 21—. A6.86') Тогда инкремент моды в резистивной стенке дается выражением = -2(щ- A6.87) 11* 328 Гл. 16. Токамак Поскольку 1 1 R 1 1 - ares(a/dJm 1 + R 1 + R 1 - (a/dfm' n <л/ i riIt Д=A-(а/ то A6.87) сводится к Рассмотрим случай, когда мода устойчива при наличии про- проводящей стенки при г = d и неустойчива в отсутствие стенки, т. е. 7с (d) < 0 и 7с (°°) > О- Тогда для инкремента моды при наличии тонкой резистивной стенки при г — d получаем (в пред- предположении 7r2esF0 < 7с(<0»7с(°°)) 7(°°Л Таким образом, инкремент оказывается порядка обратного резистивного времени стенки. При d —> а величина 7res(^)/7'w —> —> —2m(l +nq — m)/(nq — m) остается конечной. Эта неустой- неустойчивость называется модой резистивного кожуха (resistive wall mode— RWM 0). Когда радиус кожуха d приближается к кри- критической величине dQV, где идеальная МГД мода становится неустойчивой даже при наличии проводящей стенки, 7с(^сг) = = 0, инкремент RWM становится бесконечным, как это видно в A6.89), и RWM смыкается с идеальной МГД модой. При твердотельном вращении плазмы и вращении возмуще- возмущений в ней без проскальзывания, эффект вращения включается в рассмотрение добавлением доплеровского сдвига = 7 + a;rot, в левой части уравнения A6.88), но не в правой части этого уравнения. Рис. 16.28 показывает зависимость инкремента 7res(d) от расположения резистивной стенки d/a при фиксированной частоте вращения в случае a;rotTA = 0,5, т^1 = В/(а(цорI/2) = = (В/Ве)т^в\ R/a = 5yq0= 1,05, m = 2, п = 1, rA/rw = 5 • 10~4. Когда d/a возрастает выше dcr/a, плазма становится неустойчи- неустойчивой в масштабе идеальных МГД времен. При d/a, приближаю- приближающейся к единице, происходит рост инкремента из-за фактора ин- 1) Общепринятой русской аббревиатуры не существует. — Примеч. ред. §16.10. Моды резистивного кожуха 329 н 0,031 | 0,02 Он I 0,01 1,0 1,5 2,0 | dJa 0 | Рис. 16.28. Инкремент 7res(d) как функция положения резистивной стенки d/a в случае urot = 0,5. 7res(d) и u;rot даны в единицах т^ = В/(а(/лор)^2) = = (В/Вв)т-в\ dCT = 2,115, R/a = 5, q0 = 1,05, m = 2, n = 1, ta/tw = 5 • 10 (согласно [50]) дуктивности A — (a/dJm). Вследствие этого эффективное время затухания потока становится меньше, а резистивная стенка ведет себя так, как если бы имела большее сопротивление. Имеет место начальное увеличение инкремента с ростом cjrot, после которого инкремент убывает, но не до нуля, хотя бы и было Уорд и Бондесон [51] анализировали устойчивость торои- тороидальной плазмы, окруженной резистивной стенкой, с помощью численного кода. Численный анализ обнаруживает наличие двух мод. Одна из них имеет нулевую частоту в системе координат, движущейся вместе с плазмой, а возмущение едва проникает в резистивную стенку, т. е. это «плазменная мода». Другими словами, резистивная стенка ведет себя так, как если бы она была идеальной, когда uvo\ » т~1. Другая мода такова, что воз- возмущение медленно вращается вместе с резистивной стенкой, это RWM. Иначе говоря, возмущение вращается относительно плаз- плазмы. Расстояние до стенки противоположным образом влияет на эти две моды. Плазменная мода дестабилизируется при удалении стенки от плазмы, а резистивная мода при этом стабилизируется. Может существовать «окно» в положении стенки такое, что обе моды устойчивы одновременно (см. рис. 16.29). Важными аспектами механизма стабилизации являются инерция, которая становится существенной вблизи резонансных слоев в плазме, где частота вращения превышает локальную альфвеновскую ча- частоту fcy^A, и зацепление со звуковыми волнами. Эти численные результаты могут быть интерпретированы ана- аналитически. Для резистивного кожуха радиуса г — d отношение 1р'(а+)/<ф(а) дается формулой A6.860. Величину ф'(а)Ц 330 Гл. 16. Токамак Рис. 16.29. Инкремент 7res и частота проскальзывания AjsiiP = u>rot — tc^es резистивной моды, инкремент 7ideai плазменной моды как функции положе- положения резистивной стенки d/a для п = 1. Частота t^ot = 0,06 в единицах * 1/2 = (В/Вв)тпх (согласно [51]) можно формально записать как величина Z вычисляется при нахождении ф в используемой мо- модели плазмы. Тогда дисперсионное соотношение принимает вид (\*Z)= i+aresia/ar = ! V ^ } l-ares(a/dJm I и для инкремента получаем 7resTw (Л ~ 2m ' \2m 2m V1 l(a/df {d/af\ A6.90) В отсутствие вращения плазмы Z действительно (Z = х), поло- положительно, и RWM неустойчива при w > x или, эквивалентно, при A + 2/х) > (d/aJm, a<d< dideal = аA + 2/x)l/2m. По мере приближения радиуса стенки к dideal (w —> ж), инкремент 7res стремится к бесконечности, и пристеночная резистивная мода переходит в идеальную МГД неустойчивость, которая имеет МеСТО При d > rfideal- Если плазма вращается, логарифмическая производная имеет ненулевую мнимую часть, Z = х + уг, и инкремент будет равен 7resrw2m A - (a/ 77 (w - xy §16.10. Моды резистивного кожуха 331 При этом нуль в знаменателе в A6.900 устраняется, и инкре- инкремент 7res остается конечным и комплексным для всех расстоя- расстояний. Пристеночная резистивная мода не переходит в идеальную неустойчивость. При wx < (х2 + у2) пристеночная резистивная мода становится устойчивой. Это условие можно записать в виде d > dres, dres = A + 2х/(х2 + Эти результаты согласуются с численными расчетами.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Моды резистивного кожуха» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
